Задание 11. Информатика. ЕГЭ. Статград. Профиль. 12.05.2025-1

Для кодирования одного символа потребуется минимум \(\lceil \log_2 1800 \rceil = 11\) бит. Алфавит можно закодировать так, что в двоичном коде каждого символа присутствует максимум \(7\) единиц: среди одиннадацатибитных кодов только один состоит из \(11\) единиц. С десятью единицами имеется всего \(C_{11}^{10} = 11\) кодов, с \(9\)-ю — \(C_{11}^{9} = 55,\) а с \(8\)-ю — \(C_{11}^{8} = 165.\) Итого \(1 + 11 + 55 + 165 = 232\) кода. Остаётся \(2048 - 232 = 1816\) что достаточно для кодирования алфавита из \(1800\) символов.

Пусть сообщение состоит из \(N\) символов. Тогда его длина в байтах равна \(\left\lceil \cfrac{11 N}{8} \right\rceil .\) Количество единиц в таком сообщении максимум \(7N\). Для его записи потребуется $$\left\lceil \frac{\lceil \log_2 (7 N) \rceil}{8} \right\rceil$$ байт. Т.о. получаем следующее неравенство $$\left\lceil \frac{11 N}{8} \right\rceil + \left\lceil \frac{\lceil \log_2 (7 N) \rceil}{8} \right\rceil \leqslant 1024,$$ которое мы решим программно:

Python

from math import ceil, log2

def len_msg(N):
    return ceil(11 * N / 8) + ceil(ceil(log2(7 * N)) / 8)

print(max(N for N in range(1, 1_000) if len_msg(N) <= 1024))

Ответ: \(743\)