Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-6565

Значение функции для чисел, меньших \(9,\) равно

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8
\(F(n)\)	1	2	1	2	3	2	3	4

Для произвольного натурального числа значение функции \(F(n)\) будет равно сумме значений этой функции на каждой цифре числа, записанного в девятеричной системе счисления. Например, $$F(1234_9) = F(1) + F(2) + F(3) + F(4) = 1 + 2 + 1 + 2 = 6.$$ В задаче рассматриваются числа, меньшие \(9^9,\) т.е. максимум девятизначные числа в девятеричной системе счисления. Чтобы получить \(33,\) необходимо, чтобы число было как минимум девятизначным в 9-ричной СИ и содержало достаточное количество \(8\) в своей записи. А именно, восьмерок может быть либо \(8,\) либо \(7,\) либо \(6.\) Рассмотрим отдельно каждый случай.

Девятизначное в 9-ричной СИ число содержит \(8\) восьмёрок. Чтобы \(F(n) = 33,\) необходимо, чтобы девятая цифра была либо \(1,\) либо \(3.\) Так как разместить одну цифру на одну из \(9\) позиций можно \(9\)-ю различными способами, получаем, что все таких чисел, удовлетворяющий условию задания, \(18.\)

Девятизначное в 9-ричной СИ число содержит \(7\) восьмёрок. Тогда на оставшиеся две позиции мы должны разместить одну цифру, для которой \(F(n) = 2.\) Таких цифр три — \(2, \, 4, \, 6.\) И одну цифру, для которой \(F(n) = 3.\) Таких цифр две — \(5, \, 7.\) Всего чисел, удовлетворяющих указанным условиям, равно $$3 \cdot 2 \cdot A_9^2 = 432$$

Девятизначное в 9-ричной СИ число содержит \(6\) восьмёрок. На оставшиеся три позиции мы должны тогда поместить цифры, для которых \(F(n) = 3.\) Если все три цифры — это \(5,\) то таких чисел $$C_9^3 = \frac{9!}{3! \, 6!} = 84$$ Столько же чисел будет, если вместо \(5\) взять \(7.\) Наконец, можно взать либо две \(5\) и одну \(7,\) либо, наоборот, одну \(5\) и две \(7.\) В каждом таком случае получаем $$3 \cdot C_9^3 = 168$$ чисел.

Собирая все вместе, получаем окончалено, что чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно $$18 + 432 + 2 \cdot 84 + 2 + \cdot 168 = 1122$$

Ответ: \(1122\)