Задания 19-21. Информатика. ЕГЭ 2026. Крылов. Вариант 17

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче \(10\) камней, а в другой \(7\) камней; такую позицию мы будем обозначать \((10, \, 7).\) Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: \((10, \, 7),\) \((20, \, 7),\) \((10, \, 8),\) \((10, \, 14).\) Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее \(145.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет \(145\) или больше камней.

В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче — \(S\) камней, \(1 \leqslant S \leqslant 137.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

def moves(h):
    h1, h2 = h
    return (h1 + 1, h2), (2 * h1, h2), (h1, h2 + 1), (h1, 2 * h2)

def game_over(h):
    return sum(h) > 144

def win1(h):
    return not game_over(h) and any(game_over(m) for m in moves(h))

def loose1_bad(h):
    return not win1(h) and any(win1(m) for m in moves(h))

def loose1(h):
    return not win1(h) and all(win1(m) for m in moves(h))

def win2(h):
    return not win1(h) and any(loose1(m) for m in moves(h))

def loose2(h):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(h)) \
           and not all(win1(m) for m in moves(h))


z19 = [S for S in range(1, 138) if loose1_bad((7, S))]
z20 = [S for S in range(1, 138) if win2((7, S))]
z21 = [S for S in range(1, 138) if loose2((7, S))]

print(min(z19))
print(z20[0], z20[1])
print(min(z21))