Задания 19-21. Информатика. ЕГЭ 2027. Демо

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) \(4\) камня;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в \(2\) раза.

Например, пусть в одной куче \(20\) камней, а в другой \(30\) камней; такую позицию в игре обозначим \((20,~30).\) Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: \((24,~30), \, (20,~34), \, (40,~30), \, (20,~60).\)

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее \(133.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно \(133\) камня или больше. В начальный момент в первой куче было \(17\) камней, во второй куче – \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 115.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

def moves(heap):
    h1, h2 = heap
    return (h1 + 4, h2), (2 * h1, h2), (h1, h2 + 4), (h1, 2 * h2)

#print(moves([20, 30]))

def game_over(heap):
    return sum(heap) > 132

def win1(heap):
    return not game_over(heap) and any(game_over(m) for m in moves(heap))

def loose1(heap):
    return all(win1(m) for m in moves(heap))

def loose1_bad(heap):
    return any(win1(m) for m in moves(heap))

def win2(heap):
    return not win1(heap) and any(loose1(m) for m in moves(heap))

def loose2(heap):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(heap)) \
            and any(win2(m) for m in moves(heap))

z19 = [S for S in range(1, 116) if loose1_bad([17, S])]
z20 = [S for S in range(1, 116) if win2([17, S])]
z21 = [S for S in range(1, 116) if loose2([17, S])]

print(min(z19))
print(z20[0], z20[1])
print(min(z21))