Задания 19-21. Информатика. ЕГЭ. Основная волна. 10.06.2025

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень или убрать из кучи три камня. Например, имея кучу из \(30\) камней, за один ход можно получить кучу из \(29\) или \(27\) камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более \(11.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет \(11\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S > 11.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два таких значения \(S,\) при котором у Петя есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход и Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе запишите числа в порядке возрастания без пробелов и знаков препинания.

21

Для игры, описанной ранее, найдите такое максимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если такого значения нет, в ответ запишите 0.

def moves(heap):
    return heap -1, heap - 3

def game_over(pos):
    return pos <= 11

def win1(pos):
    return not game_over(pos) and any(game_over(m) for m in moves(pos))

def lose1(pos):
    return all(win1(m) for m in moves(pos))

def lose1_bad (pos):
    return any(win1(m) for m in moves(pos))

def win2(pos):
    return not win1(pos) and any(lose1(m) for m in moves(pos))

def lose2(pos):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(pos)) \
            and any(win2(m) for m in moves(pos))

z19 = [S for S in range(12, 1000) if lose1_bad(S)]
z20 = [S for S in range(12, 1000) if win2(S)]
z21 = [S for S in range(12, 1000) if lose2(S)]

print(max(z19))
print(*z20)
print(max(z21))