Задания 19-21. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 5.6.2025

19

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) от \(1\) до \(5\) камней или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее \(610.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой суммарное количество камней в кучах будет больше либо равно \(610.\)

В начальный момент в первой куче было \(110\) камней, во второй куче — \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 250.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наибольших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом

def moves(heaps):
    h1, h2 = heaps
    return [(h1 + x, h2) for x in range(1, 6)] + [(h1, h2 + x) for x in range(1, 6)] \
            + [(2 * h1, h2), (h1, 2 * h2)]

def game_over(heaps):
    return sum(heaps) >= 610

def win1(heaps):
    return not game_over(heaps) and any(game_over(m) for m in moves(heaps))

def lose1(heaps):
    return all(win1(m) for m in moves(heaps))

def lose1_bad(heaps):
    return any(win1(m) for m in moves(heaps))

def win2(heaps):
    return not win1(heaps) and any(lose1(m) for m in moves(heaps))

def lose2(heaps):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(heaps)) \
           and any(win2(m) for m in moves(heaps))

z19 = [S for S in range(1, 251) if lose1_bad([110, S])]
z20 = [S for S in range(1, 251) if win2([110, S])]
z21 = [S for S in range(1, 251) if lose2([110, S])]
print(min(z19))
print(z20[-2], z20[-1])
print(z21[0])