Задания 19-21. Информатика. ЕГЭ. Статград. База. 12.05.2025-1

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед ними находится куча камней. Игроки ходят по очереди, первым ходит Петя. За один ход игрок может либо добавить в кучу \(3\) или \(4\) камня, либо сделать количество камней в куче равным квадрату текущего количества камней. Например, если в куче \(5\) камней, то за один ход можно получить \(8,\) \(9\) или \(25\) камней. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее \(627.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из \(627\) камней или больше. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 200.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите количество значений \(S,\) при которых Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений \(S,\) в ответе запишите наибольшее из них.

def moves(heap):
    return heap + 3, heap + 4, heap ** 2

def game_over(heap):
    return heap >= 627

def win1(heap):
    return not game_over(heap) and any(game_over(m) for m in moves(heap))

def lose1(heap):
    return all(win1(m) for m in moves(heap))

def win2(heap):
    return not win1(heap) and any(lose1(m) for m in moves(heap))

def lose2(heap):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(heap)) \
            and any(win2(m) for m in moves(heap))

z19 = [S for S in range(1, 201) if lose1(S)]
z20 = [S for S in range(1, 201) if win2(S)]
z21 = [S for S in range(1, 201) if lose2(S)]

print(len(z19))
print(z20[0], z20[1])
print(max(z21))