Задания 19-21. Информатика. ЕГЭ. ЕГКР. 19.04.2025

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в кучу \(2\) камня;
• добавить в кучу \(5\) камней;
• увеличить количество камней в куче в \(2\) раза.

Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(22,\) \(25\) или \(40\) камней.

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее \(128.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(128\) или более камней. В начальной момент в куче было \(S\) камней, \(1< S < 127.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

def moves(heap):
    return heap + 2, heap + 5, 2 * heap

def game_over(heap):
    return heap >= 128

def win1(heap):
    return not game_over(heap) and any(game_over(h) for h in moves(heap))

def lose1(heap):
    return all(win1(h) for h in moves(heap))

def win2(heap):
    return not win1(heap) and any(lose1(h) for h in moves(heap))

def lose2(heap):
    return all(win1(h) or win2(h) for h in moves(heap)) \
            and any(win2(h) for h in moves(heap))

z19 = [S for S in range(1, 128) if lose1(S)]
z20 = [S for S in range(1, 128) if win2(S)]
z21 = [S for S in range(1, 128) if lose2(S)]

print(min(z19))
print(z20[0], z20[1])
print(min(z21))