Задание 19-21. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 19.09.2024

19

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в два раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(17,\) \(15\) или \(10\) камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(17.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет \(17\) или меньше камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 18.\) Будем гворить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

from math import floor

def moves(h):
    return h - 3, h - 5, floor(h / 2)

def game_over(pos):
    return pos <= 17

def win1(pos):
    return not game_over(pos) and any(game_over(m) for m in moves(pos))

def lose1(pos):
    return all(win1(m) for m in moves(pos))

def win2(pos):
    return not win1(pos) and any(lose1(m) for m in moves(pos))

def lose2(pos):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(pos)) \
           and any(win2(m) for m in moves(pos))


z19 = [S for S in range(18, 1000) if lose1(S)]
z20 = [S for S in range(18, 1000) if win2(S)]
z21 = [S for S in range(18, 1000) if lose2(S)]
print(min(z19))
print(min(z20), max(z20))
print(max(z21))