Задание 25. Информатика. ЕГЭ. Поляков-5751

Так как \(45 = 5 \cdot 3 \cdot 3,\) то число, имеющее ровно \(45\) делителе по ОТА должно иметь вид $$p_1^4 \cdot p_2^2 \cdot p_3^2,$$ где \(p_1,\) \(p_2\) и \(p_3\) — различные простые числа. Из вида маски заключаем, что все искомые числа должны быть чётными, а из требования, что они минимальные и превышающие \(10^9\) получаем, что \(2\) входит в разложение числа и она стоит там в \(4\) степени.

Python

from math import isqrt

def factor(n):
    res = []
    for d in range(2, isqrt(n) + 1):
        while n % d == 0:
            res.append(d)
            n //= d
    if n > 1:
        res.append(n)
    return res

q = 0
for n in range(10**3 + 1, 10**100, 2):
    divs = factor(n)
    if len(divs) == len(set(divs)) == 2:
        cand = 16 * divs[0]**2 * divs[1]**2
        ns = str(cand)
        a = ns.find('2', 1)
        b = ns.find('7', a)
        if cand > 10**9 and ns[0] == '1' and ns[-2:] == '04' \
                and a > 0 and b > 0:
            print(cand, cand // 2)
            q += 1
    if q == 5:
        break

Ответ:
\(1027330704 \,\, 513665352\)
\(1132457104 \,\, 566228552\)
\(1242703504 \,\, 621351752\)
\(1271065104 \,\, 635532552\)
\(1328748304 \,\, 664374152\)