Задание 27. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 1.6.2025

(Д. Бахтиев) Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на \(N\) непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких, что точки каждого подмножества находятся внутри прямоугольника со сторонами длиной \(H\) и \(W,\) причём прямоугольники не пересекаются между собой. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям. Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Будем называть центром кластера такую его точку, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна, а плотностью кластера — отношение числа звёзд в нём к площади прямоугольника (в у.е.), внутри которого этот кластер находится. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости \(A(x_1, \, y_1)\) и \(B(x_2, \, y_2)\) вычисляется по формуле: $$d(A, \, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.}$$ В файле A хранятся данные о звёздах трёх кластеров, где \(H = 4,\) \(W = 4\) для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении на карте одной звезды: сначала координата \(x,\) затем координата \(y.\) Значения даны в условных единицах. Известно, что количество звёзд не превышает \(1000.\)

В файле B хранятся данные о звёздах пяти кластеров, где \(H = 4,\) \(W = 4\) для каждого кластера. Известно, что количество звёзд не превышает \(10~000.\) Структура хранения информации о звездах в файле В аналогична файлу A.

Для каждого файла определите \(P_s\) — среднее арифметическое плотности всех кластеров, а также \(S_p\) — расстояние между центрами кластеров с наибольшей и наименьшей плотностью.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть произведения \(P_s \cdot 1000,\) затем целую часть произведения \(S_p \cdot 1000\) для файла A, во второй строке — аналогичные данные для файла В.

Возможные данные одного из файлов иллюстрированы графиком.

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющих отношения к заданию.

Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

from math import dist

files = ['27A.txt', '27B.txt']
base = ''
eps = [1, 1]

for t in (0, 1):
    data = [tuple(map(float, line.split())) for line in open(base + files[t])]
    clusters = []
    while data:
        clusters.append([data.pop()])
        for p in clusters[-1]:
            neigh = [pt for pt in data if dist(p, pt) < eps[t]]
            clusters[-1] += neigh
            for pt in neigh:
                data.remove(pt)
    #print(len(clusters), [len(c) for c in clusters])
    densities = [len(c) / 16 for c in clusters]
    centers = []
    for cl in clusters:
        dmin = float('inf')
        c = None
        for p in cl:
            d = sum(dist(p, pt) for pt in cl)
            if d < dmin:
                c = p
                dmin = d
        centers.append(c)
    min_den = [k for k in range(len(clusters)) if densities[k] == min(densities)][0]
    max_den = [k for k in range(len(clusters)) if densities[k] == max(densities)][0]
    ps = sum(densities) / len(densities)
    sp = dist(centers[min_den], centers[max_den])

    print(int(ps * 1000), int(sp * 1000))