Задание 8. Информатика. ЕГЭ. Статград. Профиль. 12.05.2025-1

В алфавите \(15\)-ричной системы счисления \(8\) чётных цифр и \(7\) нечётных. Запись \(8\)-значного числа из условия задачи состоит из \(4\) различных чётных цифр, которых можно выбрать из алфавита \(C_8^4\) способами, и из \(4\) различных нечётных цифр, всего способов их выбрать из алфавита \(C_7^4\). Выбрать из \(8\) позиций \(8\)-значного числа \(4\) позиции под чётные числа можно \(C_8^4\) способами. В каждом фиксированном выборе четырех позиций и конкретном выборе \(4\) чётных цифр можно выполнить \(4!\) перестановок этих цифр. Аналогичные действия можно выполнить и с нечётными цифрами. Всего получается $$C_8^4 \cdot C_8^4 \cdot 4! \cdot C_7^4 \cdot 4!.$$ различных чисел. Однако среди этих чисел присутствуют те, которые начинаются с цифры \(0\). Посчитаем их количество и исключим их из общего количества. На первом месте стоит \(0,\) значит среди оставшихся \(7\) позиций на трёх стоят чётные цифры. Всего вариантов выбрать три цифры из \(7\) чётных (ноль мы уже исключили) \(C_7^3.\) Под них выбрать \(3\) позиции из оставшихся \(7\) в нашем числе можно тоже \(C_7^3\) способами. Наконец, эти три чётные цифры можно переставить \(3!\) способами. Аналогичные рассуждения проводим и для нечётных цифр. Окончательная формула следующая: $$C_8^4 \cdot C_8^4 \cdot 4! \cdot C_7^4 \cdot 4! - C_7^3 \cdot C_7^3 \cdot 3! \cdot C_7^4 \cdot 4!$$

Python

from math import comb, factorial
N = comb(8, 4) * comb(8, 4) * factorial(4) * comb(7, 4) * factorial(4)
N -= comb(7, 3) * comb(7, 3) * factorial(3) * comb(7, 4) * factorial(4)
print(N)

Ответ: \(92610000\)