Задание 25. ОГЭ. Математика. Основная волна. ДВ. 03.06.2025

Так как \(\angle LKN + \angle KLN = 180^\circ\) и \(KO\) и \(LO\) — биссектрисы углов \(K\) и \(L,\) то \(\angle LKO + \angle KLO = 90^\circ,\) \(\angle KOL = 90^\circ ,\) треугольник \(KLO\) прямоугольный. Расстояние от точки \(O\) до прямой \(KL\) — это длина высоты \(OH,\) опущенной из вершины \(O\) на гипотенузу \(KL\) треугольника \(KLO.\) Пусть \(MA\) — высота параллелограмма, опущенная из вершины \(M\) на продолжение стороны \(KN.\) Проведём через точку \(O\) прямую, перпендикулярную \(KN\) и пусть она пересекает стороны \(KN\) и \(LM\) в точках \(Q\) и \(P\) соответственно. Так как \(KN \parallel LM,\) то \(PQ \perp KN\) и \(PQ \perp LM.\) Получаем, что \(PQ = MA.\) Далее, так как \(\angle HLO = \angle PLO,\) то \(\triangle HLO = \triangle PLO\) по гипотенузе и острому углу. Значит, \(OH = OP.\) Аналогично, так как \(\angle HKO = \angle QKO,\) то \(\triangle HKO = \triangle QKO\) тоже по гипотенузе и острому углу. Получаем, что \(OH = OQ\) и значит \(OH = \cfrac{1}{2} PQ = \cfrac{1}{2} MA.\) Высоту же \(MA\) параллелограмма \(KLMN\) можно легко найти из площади параллелограмма: $$MA = \frac{S_{KLMN}}{KN} = \frac{S_{KLMN}}{LM} = \frac{240}{25} = \frac{48}{5}.$$ Окончательно $$OH = \frac{1}{2} MA = \frac{48}{10} = 4{,}8.$$

Ответ: \(4{,}8\)