Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 12.05.2026

Просмотры: 642
Изменено: 18 сентября 2026
Теория по теме: Тригонометрические формулы

а) Решите уравнение $$2 \cos^2 x - \sin \left( x + \pi \right) - 1 = 0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ \cfrac{3 \pi}{2} ; \, 3\pi \right].\)

Решение:

а) $$2 \left( 1 - \sin^2 x \right) + \sin x - 1 = 0$$ $$2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$ Замена \(y = \sin x:\) $$2y^2 - y - 1 = 0, \,\, D = 1 + 4 \cdot 2 = 9$$ $$y_{1, 2} = \frac{1 \pm 3}{4}, \,\, y_1 = 1, \,\, y_2 = - \frac{1}{2}$$ Обратная замена: $$\sin x = 1 \, \Rightarrow \, x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$$ $$\sin x = - \frac{1}{2} \, \Rightarrow x = - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \lor x = - \frac{5\pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}$$

б) Отбор корней. I $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \leqslant 3 \pi$$ $$3 \leqslant 1 + 4n \leqslant 6$$ $$2 \leqslant 4n \leqslant 5$$ Отсюда \(n = 1 \, \Rightarrow x = \cfrac{\pi}{2} + 2 \pi = \cfrac{5 \pi}{2}.\)

II $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant - \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant 3 \pi$$ $$9 \leqslant -1 + 12k \leqslant 18$$ $$10 \leqslant 12k \leqslant 19$$ Отсюда \(k = 1 \, \Rightarrow x = -\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi = \cfrac{11 \pi}{6}.\)

III $$\frac{3 \pi}{2} \leqslant - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m \leqslant 3 \pi$$ $$9 \leqslant -5 + 12m \leqslant 18$$ $$14 \leqslant 12m \leqslant 23$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{2} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(-\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{11 \pi}{6}; \, \cfrac{5 \pi}{2} .\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года