Основанием прямой треугольной призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) является равнобедренный треугольник \( ABC \), в котором \( AB = BC = 20 \), \( AC = 32 \). Боковое ребро призмы равно \( 24 \). Точка \( P \) принадлежит ребру \( BB_1 \), причём \( BP : PB_1 = 1 : 3\) .

а) Пусть \( M \) - середине \( A_1 C_1 \). Докажите, что прямые \( MP \) и \( AC \) перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями \( A_1 B_1 C_1 \) и \( ACP \).

В правильной шестиугольной пирамиде \( SABCDEF \) с вершиной \( S \) боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину рёбер \( SA \) и \( SE \) и вершину \( C \), делит ребро \( SB \) в отношении \( 1 : 3 \), считая от вершины \( B \).

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер \( SA \) и \( SE \) и вершину \( C \), делит ребро \( SF \), считая от вершины \( S \).

В правильной треугольной пирамиде \( SABC \) с вершиной \( S \), все рёбра которой равны \( 6 \) , точка \( M \) - середина ребра \( BC \), точка \( O \) - центр основания пирамиды, точка \( F \) делит отрезок \( SO \) в отношении \( 1:2 \), считая от вершины пирамиды.

а) Найдите отношение, в котором плоскость \( CMF \) делит отрезок \( SA \), считая от вершины \( S \).

б) Найдите угол между плоскостью \( MCF \) и плоскостью \( ABC \).

В правильной четырёхугольной пирамиде \( SABCD \) с вершиной \( S \) сторона основания равна \( 8 \). Точка \( L \) – середина ребра \( SC \). Тангенс угла между прямыми \( BL \) и \( SA \) равен \( 2 \sqrt{\dfrac{2}{5}} \).

а) Пусть \( O \) – центр основания пирамиды. Докажите, что прямые \( BO \) и \( LO \) перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Ребро \( SA \) пирамиды \( SABC \) перпендикулярно плоскости основания \( ABC .\)

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \( AB \), \( AC \) и \( SA \), отсекает от пирамиды \( SABC \) пирамиду, объём которой в \( 8 \) раз меньше объёма пирамиды \( SABC. \)

б) Найдите расстояние от вершины \( A \) до этой плоскости, если \( SA = 2 \sqrt{5} \), \( AB = AC = 10, \) \( BC = 4 \sqrt{5}. \)