На катетах \( AC \) и \( BC \) прямоугольного треугольника \( ABC \) вне треугольника построены квадраты \( ACDE \) и \( BFKC \). Точка \( M \) - середина гипотенузы \( AB \), \( H \) - точка пересечения прямых \( CM \) и \( DK \).

а) Докажите, что прямые \( CM \) и \( DK \) перпендикулярны.

б) Найдите \( MH \), если известно, что катеты треугольника \( ABC \) равны \( 60 \) и \( 80 \).

На сторонах \( AC \) и \( BC \) треугольника \( ABC \) вне треугольника построены квадраты \( ACDE \) и \( BFKC \). Точка \( M \) - середина \( AB \).

а) Докажите, что \( CM = \dfrac{1}{2} DK \).

б) Найдите расстояние от точки \( M \) до центров квадратов, если \( AC = 10\), \( BC = 32 \) и \( \angle ACB = 30^\circ \).

Окружность, построенная на стороне \( AD \) параллелограмма \( ABCD \) как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

а) Докажите, что \( ABCD \) - ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону \( AB \) в точке \( M \), причём \( AM : MB = 1 : 2 \). Найдите диагональ \( AC \), если известно, что \( AD = 2 \sqrt{3} \).

На отрезке \( BD \) взята точка \( C \). Биссектриса \( BL \) равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( BC \) является боковой стороной равнобедренного треугольника \( BLD \) с основанием \( BD \).

а) Докажите, что треугольник \( DCL \) равнобедренный.

б) Известно, что \( \cos \angle ABC = \dfrac{3}{4} \). В каком отношении прямая \( DL \) делит сторону \( AB \)?

Точки \( B_1 \) и \( C_1 \) лежат на сторонах соответственно \( AC \) и \( AB \) треугольника \( ABC, \) причём \( AB_1 : B_1 C = AC_1 : C_1 B . \) Прямые \( BB_1 \) и \( CC_1 \) пересекаются в точке \( O. \)

а) Докажите, что прямая \( AO \) делит пополам сторону \( BC. \)

б) Найдите отношение площади четырёхугольника \( AB_1OC_1 \) к площади треугольника \( ABC, \) если известно, что \( AB_1 : B_1 C = AC_1 : C_1 B = 1 : 3.\)