Решение:

а) Раскрывая синус в первом слагаемом по формуле синуса суммы, получаем $$8 \cos x \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + 4 \sqrt{3} \sin^2 x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x$$ $$4 \sin x \cos x + 4 \sqrt{3} \cos^2 x + 4 \sqrt{3} \sin^2 x = 9 \sqrt{3} - 8 \sin 2x$$ $$10 \sin 2x = 5 \sqrt{3}$$ $$\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$2x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \lor 2x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \lor x = \frac{\pi}{3} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z}$$

б) Отбор корней. I $$\left. \frac{11 \pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi n \leqslant \frac{17 \pi}{4} \right| \cdot \frac{12}{\pi}$$ $$33 \leqslant 2 + 12 n \leqslant 51$$ $$31 \leqslant 12 n \leqslant 49$$ Это неравенство имеет два целых решения: \(n = 3\) и \(n = 4.\) Соответствующие этим числам корни равны \(\cfrac{19 \pi}{6}\) и \(\cfrac{25 \pi}{6}.\)

II $$\left. \frac{11 \pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{3} + \pi m \leqslant \frac{17 \pi}{4} \right| \cdot \frac{12}{\pi}$$ $$33 \leqslant 4 + 12 m \leqslant 51$$ $$29 \leqslant 12 m \leqslant 47$$ Это неравенство имееет одно целое решение \(n = 3.\) Ему соответствует корень \(\cfrac{10 \pi}{3}.\)

Ответ: а) \(\cfrac{\pi}{6} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{3} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{19 \pi}{6}; \, \cfrac{10 \pi}{3}; \, \cfrac{25 \pi}{3} .\)