Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. ЕГКР. 16.12.2025

Просмотры: 541
Изменено: 18 сентября 2026
Теория по теме: Тригонометрические формулы

а) Решите уравнение $$\left( 2 \sin x - \cos x \right) \left( 1 + \cos x \right) = \sin^2 x$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[ \cfrac{17 \pi}{2} ; \, \cfrac{19 \pi}{2} \right].\)

Решение:

а) $$2 \sin x (1 + \cos x ) - \cos x - \cos^2 x = \sin^2 x $$ $$2 \sin x \left( 1 + \cos x \right) = 1 + \cos x$$ $$\left( 1 + \cos x \right) \left( 2 \sin x - 1 \right) = 0$$ Отсюда либо \(\cos x = - 1 \, \Rightarrow \) \( x = \pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) либо \(\sin x = \cfrac{1}{2} \, \Rightarrow \) \(x = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z},\) \(x = \cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.\)

б) Отбор корней. I $$\frac{17 \pi}{2} \leqslant \pi + 2 \pi n \leqslant \frac{19 \pi}{2}$$ $$17 \leqslant 2 + 4 n \leqslant 19$$ $$15 \leqslant 4n \leqslant 17$$ Значит \(n = 4 \, \Rightarrow \, x = \pi + 8 \pi = 9 \pi.\)

II $$\frac{17 \pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \leqslant \frac{19 \pi}{2}$$ $$51 \leqslant 1 + 12 k \leqslant 57$$ $$50 \leqslant 12k \leqslant 56$$ Это неравенство не имеет решений в целых числах.

III $$\frac{17 \pi}{2} \leqslant \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m \leqslant \frac{19 \pi}{2}$$ $$51 \leqslant 5 + 12 m \leqslant 57$$ $$46 \leqslant 12 m \leqslant 52$$ Значит \(m = 4 \, \Rightarrow \, x = \cfrac{5 \pi}{6} + 8 \pi = \cfrac{53 \pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\pi + 2 \pi n, \, n \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, \, k \in \mathbb{Z};\) \(\cfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, \, m \in \mathbb{Z};\) б) \(\cfrac{53 \pi}{6}; \, 9 \pi.\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года