Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 14. Вариант 1

Просмотры: 360
Изменено: 17 мая 2025

Основанием прямой треугольной призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) является равнобедренный треугольник \( ABC \), в котором \( AB = BC = 20 \), \( AC = 32 \). Боковое ребро призмы равно \( 24 \). Точка \( P \) принадлежит ребру \( BB_1 \), причём \( BP : PB_1 = 1 : 3\) .

а) Пусть \( M \) - середине \( A_1 C_1 \). Докажите, что прямые \( MP \) и \( AC \) перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями \( A_1 B_1 C_1 \) и \( ACP \).

Решение:

а) Угол между скрещивающимися прямыми \(MP\) и \(AB\) равен углу между пересекающимися прямыми \(MP\) и \( A_1B_1\). Т.к. треугольник \( A_1B_1C_1 \) равнобедренный, то \( B_1M \bot A_1C_1 \). По теореме о трёх перпендикулярах \( A_1 C_1 \bot MP \).

б) Проведём через точку \( P \) плоскость \( (EDP) \), параллельную \( (A_1 B_1 C_1) \). Угол между \( (A_1 B_1 C_1) \) и \( (ACP)\) равен углу между \( (EDP)\) и \( (ACP)\). Плоскость \( (ACP) \) пересекает параллельные плоскости \( (EDP)\) и \( (ABC)\) по параллельным прямым: \(AC\) и пралаллельной ей прямой \(m\), проходящей через точку \( P \). Перепендикуляры к точке \(P\) в плоскостях \( (EDP) \) и \( (ACP)\) тогда будут перпендикулярами к параллельным к \(m\) прямым \( ED \) и \(AC\). Перпендикуляр \( PF \) к \( ED\) — это высота равнобедренного треугольника \( EDP \), проведённая к основанию \( ED =32 \). Боковые стороны этого треугольника \( EP =DP = 20 \). По теореме Пифагора \( PF = 12 \).

Пусть \( G\) — середина \( AC \). Тогда \( PG \bot AC \) по соображениям, аналогичным пункта а). Поэтому \( FG = BP = \dfrac{1}{4} BB_1 = 6 \). Окончательно, \( \tan \angle FPG = \dfrac{1}{2} \).

Ответ: б) \( \dfrac{1}{2} \).

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года