Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 14. Вариант 3

Просмотры: 637
Изменено: 1 февраля 2025

В правильной треугольной пирамиде \( SABC \) с вершиной \( S \), все рёбра которой равны \( 6 \) , точка \( M \) - середина ребра \( BC \), точка \( O \) - центр основания пирамиды, точка \( F \) делит отрезок \( SO \) в отношении \( 1:2 \), считая от вершины пирамиды.

а) Найдите отношение, в котором плоскость \( CMF \) делит отрезок \( SA \), считая от вершины \( S \).

б) Найдите угол между плоскостью \( MCF \) и плоскостью \( ABC \).

Решение:

а) Точка \( O \) лежит на высоте \( AM \) равностороннего треугольника \( ABC \), причём \( AO : OM = 2 : 1 \). Апофема \( SM \) перпендикулярна \( BC \). Кроме того, \( SM = AM = 6 \sin 60^\circ = 3 \sqrt{3} \).

Плоскость \( (CMF) \) пересекает плоскость \( (SMA) \) по прямой \( MF \). Продлим эту прямую до пересечения с \( SA \) в точке \( G \). В этой точке плоскость \( (CMF) \) пересекает отрезок \(SA\).

Проведём в треугольнике \( SMA \) через точку \( O\) прямую, параллельную \( MG \). Пусть она пересечёт \( SA \) в точке \( K \). По теореме Фалеса с одной стороны \( SG : GK = SF : FO = 1 : 2 \). С другой стороны, \( GK : KA = MO : OA = 1 : 2 \). Поэтому, если \( SG = x \), то \( GK = 2x \), \( KA = 4x \). Отсюда, \( SG : GA = 1 : 6 \).

б) \( (MCF) \cap (ABC) = BC \). Так как \( AM \bot BC \), то по теореме о трёх перпендикулярах \( FM \bot BC \). Отсюда угол между плоскостями \( (MCF) \) и \( (ABC) \) — это угол между прямыми \( MF \) и \( MO \). Итак, \( MO = \dfrac{1}{3} MA = \sqrt{3} \). По теореме Пифагора $$ SO = \sqrt{SM^2 - MO^2} = \sqrt{27 - 3} = 2 \sqrt{6}. $$ $$ FO = \frac{2}{3} SO = \frac{4 \sqrt{6}}{3}. $$ $$ \tan \angle FMO = \frac{FO}{MO} = \frac{4 \sqrt{6}}{3} : \sqrt{3}= \frac{4 \sqrt{2}}{3}. $$ Отсюда \( \angle FMO = \arctan \dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \).

Ответ: а) \( 1:6 \); б) \( \arctan \dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \).

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года