Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 14. Вариант 5

Просмотры: 462
Изменено: 1 февраля 2025

Ребро \( SA \) пирамиды \( SABC \) перпендикулярно плоскости основания \( ABC .\)

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \( AB \), \( AC \) и \( SA \), отсекает от пирамиды \( SABC \) пирамиду, объём которой в \( 8 \) раз меньше объёма пирамиды \( SABC. \)

б) Найдите расстояние от вершины \( A \) до этой плоскости, если \( SA = 2 \sqrt{5} \), \( AB = AC = 10, \) \( BC = 4 \sqrt{5}. \)

Решение:

а) \( ED \) — средняя линия треугольника \( ABC \). Поэтому \( S_{AED} = \dfrac{1}{4} S_{ABC} \). Кроме того, так как \( FA = \dfrac{1}{2} SA \), то \( V_{SABC} = \dfrac{1}{8} V_{FAED} \).

б) Пусть \(h\) — длина пепендикуляра, опущенного из вершины \( A \) на плоскость \( FED \). Это и будет расстояние от \( A \) до этой плоскости. Для его нахождения воспользуемся методом объёмов. С одной стороны, \( V_{FAED} = \dfrac{1}{3} FA \cdot S_{AED} \). С другой стороны, \( F_{FAED} = \dfrac{1}{3} h \cdot S_{FED} \). Поэтому $$ h = \frac{FA \cdot S_{AED}}{S_{FED}} $$

Пусть \( AH \) — высота треугольника \( ABC \). Тогда \( AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = 4 \sqrt{5} \). Его площадь \( S_{ABC} = \dfrac{1}{2} 4 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5} = 40\). И \( S_{AED} = 10 \).

Теперь, \( SC = \sqrt{AS^2 + AC^2} = 2 \sqrt{30} \), \( FE = FD = \sqrt{30} \), \( ED = 2 \sqrt{5} \). Высота равнобедренного треугольника \( FED \), опущенная из вершины \( F \) на основание \( ED \) равна \( \sqrt{30 - 5} = 5 \). Поэтому \( S_{FED} = \dfrac{1}{2} 5 \cdot 2 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5} \). Окончательно, $$ h = \frac{\sqrt{5} \cdot 10}{5 \sqrt{5}} = 2. $$

Ответ: б) \( 2 \).

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года