Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 14. Вариант 6

Просмотры: 766
Изменено: 17 мая 2025

В правильной треугольной призме \( ABCA_1 B_1 C_1 \) все рёбра равны \( 1 \).

а) Докажите, что прямая \( AB_1 \) параллельна прямой, проходящей через середины отрезков \( AC \) и \( BC_1 \).

б) Найдите косинус угла между прямыми \( AB_1 \) и \( BC_1 \).

Решение:

а) Пусть \( D \) — середина \( AC \), \( E \) — середина \( BC_1 \), \( F \) — середина \( BC \). Тогда \( DF \) — средняя линия треугольника \( ABC \), значит \( DF \parallel AB \). Далее, \( EF \) — средняя линия треугольника \( BB_1 C \), значит \( EF \parallel BB_1 \). Отсюда получаем, что плоскости \( ( AB_1 B )\) и \( (EDF) \) параллельны, поэтому прямые \( AB_1 \) и \( DE \) не пересекаются.

Рассмотрим плоскость \( AB_1E\). Так как \( E \) — точка пересечения диагоналей \(BC_1 \) и \(B_1 C \), то \( C \in (AB_1 E) \), отсюда \( AC \subset (AB_1 E ) \), поэтому \( D \in (AB_1 E) \), и, значит, прямые \( AB_1 \) и \( DE \) лежат в одной плоскости, следовательно они параллельны.

б)Угол между скрещивающимися прямыми \( AB_1 \) и \( BC_1 \) равен углу между пересекающимися прямыми \( BC_1 \) и \( DE \). Так как \( BC = CC_1 = 1 \), то \( BC_1 = \sqrt{2} \), \( BE = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \). Так как \( BD \) — высота треугольника \( ABC \), то \( BD = 1 \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \). Наконец, \( FE = FD = \dfrac{1}{2} \), поэтому \( ED = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \). Из теоремы косинусов получаем, что $$ \cos \angle BED = \frac{BE^2 + ED^2 - BD^2}{2 \cdot BE \cdot ED}. $$ Подставляя сюда значения сторон треугольника \( EDF \), находим, что \( \cos \angle BED = \dfrac{1}{4} \).

Ответ: б) \( \dfrac{1}{4} \).

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года