Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 14. Математика. ЕГЭ 2025. Основная волна. 27.05.2025

Просмотры: 954
Изменено: 27 мая 2025

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на ребрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) соответственно. Известно, что \(AM = 5 MA_1,\) \(A_1K = KB_1.\) Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно грани \(ABB_1A_1.\)

  • а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1.\)
  • б) Найди площадь сечения призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha,\) если все ребра призмы равны \(12.\)

Решение:

а) Так как точка \(K\) является серединой ребра \(A_1B_1,\) то \(C_1K\) — медиана в равностороннем треугольнике \(A_1B_1C_1,\) а значит \(C_1K \perp A_1B_1.\) Путь \(D\) — середина ребра \(AB.\) Тогда \(DK \parallel BB_1,\) а значит \(DK \perp (A_1B_1C_1),\) и в частности \(DK \perp C_1K.\) Получаем, что \(C_1K \perp (A_1AB).\) Плоскость \((MKC_1)\) перпендикулярна плоскости \((A_1AB),\) так как она проходит через прямую \(C_1K,\) которая перпендикулярна \((A_1AB).\) Кроме того, плоскость \((MKC_1)\) проходит через прямую \(MK.\) С другой стороны, через ту же самую прямую проходит плоскость \(\alpha ,\) которая также перпендикулярна плоскости \((A_1AB).\) Значит, плоскости \(\alpha\) и \(MKC_1\) совпадают и \(C_1 \in \alpha.\)

б) Сечением призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha\) является прямоугольный треугольник \(C_1MK,\) \(C_1K \perp MK.\) Далее, \(AA_1 =12\) и \(A_1M : MA = 1 : 5 \Rightarrow\) \(MA_1 = 2.\) Кроме того \(A_1K = A_1B_1 : 2 = 6.\) Так как \(A_1MK\) — прямоугольный треугольник с прямым углом \(MA_1K,\) то по теореме Пифагора получаем, что \(MK = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2 \sqrt{10}.\) Рассматривая равносторонний треугольник \(A_1B_1C_1,\) немедленно получаем, что высота \(C_1K = A_1C_1\sin 60^\circ = 6 \sqrt{3}.\) Значит \(S_{MKC_1} = \cfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{10} \cdot 6 \sqrt{3} = 6 \sqrt{30}.\)

Ответ: б) \(6 \sqrt{30}\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года