Решение:

а) Плоскость сечения \(\alpha\) (на чертеже показана синим цветом) пересекает параллельные грани \((ABC)\) и \((A_1B_1C_1)\) куба по параллельным прямым \(BD\) и \(KL.\) Значит \(BKLD\) — трапеция. Так как \(BD \parallel B_1D_1,\) то \(KL \parallel B_1D_1,\) и, значит, \(KL\) — средняя линия треугольника \(B_1C_1D_1,\) а поэтому точка \(L = KL \cap C_1D_1\) — середина ребра \(C_1D_1.\) Так как у куба все рёбра равны, то \(KB_1 = KC_1 = LC_1 = LD_1.\) Наконец, прямоугольные треугольники \(BB_1K\) и \(DD_1L\) равны по двум катетам: \(BB_1 = DD_1,\) как рёбра куба и \(B_1K = D_1L\) как только что было доказано. Значит, \(BK = LD\) и поэтому трапеция \(BKLD\) — равнобедренная.

б) Отметим на основаниях \(KL\) и \(BD\) трапеции \(BKLD\) их середины \(E\) и \(F\) соответственно. Так как трапеция равнобедренная, то \(EF \perp BD\) (по соображениям симметрии). Далее \(CF \perp BD\) по свойству диагоналей квадрата. Значит прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \((C_1CF),\) проходящей через диагонали \(AC\) и \(A_1C_1\) верхней и нижней граней куба. А так как плоскость \(\alpha = (BKL)\) проходит через прямую \(BD,\) приходим к выводу, что плоскость сечения \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \((C_1CF),\) причём \((C_1CF) \cap (BKL) = EF.\) Поэтому, расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(\alpha\) — это длина перпендикуляра \(C_1H,\) опущенного на прямую \(EF.\)

Так как \(CB = CD = 3,\) то \(CF = \cfrac{3 \sqrt{2}}{2},\) \(C_1E = \cfrac{1}{2} CF = \cfrac{3 \sqrt{2}}{4}.\) Опустим в прямоугольной трапеции \(FEC_1C\) перпендикуляр \(ES\) на основание \(FC.\) Тогда \(EC_1 = SC = \cfrac{1}{2} FC.\) Далее, так как \(FC \parallel EC_1,\) то \(\angle EFC = \angle HEC_1,\) как соответственные углы при параллельных прямых. Из прямоугольного треугольника \(EFS\) находим, что $$\mathrm{tg} \, \angle EFS = \frac{ES}{FS} = \frac{3 \cdot 4}{3 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$$ $$\sin^2 \angle EFS = 8 \left( 1- \sin^2 \angle EFS \right)$$ $$\sin \angle EFS = \sin \angle HEC_1 = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$ $$C_1H = EC_1 \sin \angle HEC_1 = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 1$$

Ответ: б) \(1.\)