Решение:

а) Плоскость сечения \((AKC)\) должна пересекать параллельные плоскости \((ABC)\) и \((A_1B_1C_1)\) оснований призмы по параллельным прямым \(AC\) и \(KL.\) Значит \(AKLC\) — трапеция. Так как \(AC \parallel A_1C_1,\) то \(KL \parallel A_1C_1,\) и, поэтому, \(KL\) — средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1.\) Значит, \(KA_1 = KB_1 = LC_1 = LB_1 = 3.\) Прямоугольные треугольники \(AA_1K\) и \(CC_1L\) равны по двум катетам: \(AA_1 = CC_1\) как боковые рёбра прямой призмы, \(KA_1 = LC_1,\) по доказанному выше. Значит \(AK = CL\) и, поэтому \(AKLC\) — равнобедренная трапеция.

б) Отметим на основаниях \(KL\) и \(AC\) трапеции \(AKLC\) середины \(D\) и \(E\) соответственно. Тогда \(DE \perp AC,\) потому что трапеция \(AKLC\) равнобедренная. Далее, медиана \(BE\) в равностороннем треугольнике \(ABC\) является также и высотой. Значит \(BE \perp AC.\) Отсюда прямая \(AC\) перпендикулярна плоскости \((BED),\) проходящей через параллельные прямые \(EB\) и \(DB_1.\) А так как плоскость \((AKC)\) содержит прямую \(AC,\) то \((AKC) \perp (DEB),\) причём \((AKC) \cap (DEB) = DE,\) откуда немедленно следует, что расстояние от точки \(B\) до плоскости \(AKC\) — это длина перпендикуляра \(BF,\) опущенного из точки \(B\) на прямую \(DE.\)

Так как \(\triangle ABC\) равносторонний, то \(BE = AB \sin 60^\circ = 6 \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}.\) Из того, что \(KL\) — это средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1,\) то \(B_1D = \cfrac{1}{2} BE = \cfrac{3 \sqrt{3}}{2}.\)

В прямоугольной трапеции \(EDB_1B\) из вершины \(D\) опустим перпендикуляр \(DH\) на основание \(EB.\) Тогда \(DB_1 = HB = \cfrac{1}{2} EB = HE = \cfrac{3 \sqrt{3}}{2}.\) Теперь $$\mathrm{tg} \, \angle DEH = \frac{DH}{EH} = \frac{6 \cdot 2}{3 \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$$ $$\sin^2 \angle DEH = \frac{16}{3} \left( 1 - \sin^2 \angle DEH \right)$$ $$\sin \angle DEH = \sin \angle FEB = \frac{4}{\sqrt{19}}$$ $$BF = BE \cdot \sin \angle FEB = 3 \sqrt{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{19}} = \frac{12 \sqrt{57}}{19}.$$

Ответ: б) \(\cfrac{12 \sqrt{57}}{19}.\)