Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 14. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 1.10.25

Просмотры: 2752
Изменено: 17 октября 2025

На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E : EA = 5 : 2.\) Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1.\)

  • а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью \(ETD_1\) является трапецией.
  • б) Найдите угол между плоскостью \(ETD_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1,\) если известно, что \(AB = 3 \sqrt{2},\) \(AD = 4, \) \(AA_1 = 14.\)

Решение:

а)

Плоскость \(ED_1T\) пересекает параллельные грани \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\) по параллельным прямым \(ED_1\) и \(FT.\) Значит, четырёхугольник \(ED_1TF,\) получившийся в сечении параллелепипеда плоскостью \(ETD_1\) является трапецией.

б) Продлим отрезки \(A_1B_1\) и \(D_1T\) до их пересечения в точке \(G.\) Получившийся треугольник \(A_1GD_1\) — прямоугольный, причём \(A_1G = 2 A_1B_1 = 6 \sqrt{2}.\) По теореме Пифагора \(D_1G = \sqrt{4^2 + (6\sqrt{2})^2} = 2 \sqrt{22}.\) Высота \(A_1H,\) опущенная из вершины прямого угла \(A_1\) на гипотенузу \(D_1G\) равна $$A_1H = \frac{4 \cdot 6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{22}} = \frac{12}{\sqrt{11}}$$ Прямая \(A_1H\) является проекцией прямой \(EH\) на плоскость \(A_1B_1C_1.\) Так как \(A_1H \perp D_1G,\) то по теореме о трёх перпендикулярах \(EH \perp D_1G.\) А так как прямая \(D_1G\) — это прямая, по которой пересекаются плоскости \(A_1B_1C_1\) и \(ED_1T,\) то угол между этими прямыми будет равен углу между плоскостями \(A_1B_1C_1\) и \(ED_1T.\) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(EA_1H.\) Его катеты \(A_1H = \cfrac{12}{\sqrt{11}}\) и \(EA_1 = \cfrac{5 \cdot 14}{7} = 10.\) Значит $$\angle EHA_1 = \mathrm{arctan} \, \frac{EA_1}{A_1H} = \mathrm{arctan} \, \frac{10 \sqrt{11}}{12} = \mathrm{arctan} \, \frac{5 \sqrt{11}}{6}$$

Ответ: б) \(\mathrm{arctan} \, \cfrac{5 \sqrt{11}}{6}\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года