Решение:

а) Пусть \(OO_1\) — ось цилиндра. Так как образующие цилиндра перпендикулярны плоскости основания цилиндра, то ось цилиндра также перпендикулярна плоскости основания. Тогда через неё и пересекающий её отрезок \(AC_1\) можно провести плоскость, которая пересечёт цилиндр по прямоугольнику \(ACC_1A_1.\) Причём \(AA_1\) и \(CC_1\) будут являться образующими цилиндра и перпендикулярны плоскости его основания. Это сечение будет осевым сечением цилиндра, и отрезки \(AC\) и \(A_1C_1,\) соединяющие точки на окружности и проходящие через её центр, будут диаметрами этой окружности. Получаем, что треугольник \(ABC,\) вписанный в окружность, будет прямоугольным с прямым углом \(B,\) так как одна из его сторон является диаметром окружности.

Так как \(CC_1\) перпендикулярна плоскости основания, то \(C_1B\) будет наклонной, а \(BC\) — её проекцией. А так как проекция \(BC\) по доказанному выше перпендикулярна прямой \(AB,\) то и наклонная \(C_1B\) по теореме о трёх перпендикулярах тоже будет перпендикулярна \(AB.\) Ч.т.д.

б) Образующие \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны друг другу. Значит отрезки \(B_1C_1\) и \(BC,\) заключённые между ними и расположенные на параллельных плоскостях оснований цилиндра, будут равны: \(BC = 32.\) По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 32^2} = 40.\) Длина окружности основания цилиндра \(L = AC \cdot \pi = 40 \pi .\) Отсюда площадь боковой поверхности цилиндра \(S = BB_1 \cdot L = 440 \pi .\)

Ответ: б) \(440 \pi\)