Решение:

а) Для доказательства того, что плоскость, перпендикулярная грани \(ABB_1A_1,\) и проходящая через \(KM,\) проходит через вершину \(C,\) покажем, что прямая \(KC_1\) перпендикулярна плоскости этого ребра. В этом случае любая плоскость, проходящая через \(KC_1,\) будет перпендикулярна плоскости ребра \(AA_1B_1B,\) в том числе и плоскость \(KMC_1.\) В силу теоремы единственности о перпендикулярных плоскостях, плоскость \(KMC_1\) будет единственной плоскостью, перпендикулярной ребру \(AA_1B_1B\) и проходящей через прямую \(KM.\)

\(\triangle A_1B_1C_1\) равносторонний по условию (т.к. призма \(ABCA_1B_1C_1\) правильная). Так как \(A_1K = KB_1,\) то медиана \(KC_1\) будет и высотой: \(KC_1 \perp A_1B_1.\) С другой стороны, грань \(AA_1B_1B\) — прямоугольник. Пусть \(L\) — середина ребра \(AB.\) Тогда \(KL \parallel AA_1.\) Но т.к. призма \(ABCA_1B_1C_1\) правильная, то \(AA_1 \perp A_1B_1C_1\) и, значит, \(LK \perp A_1B_1C_1.\) Поэтому \(KL \perp KC_1.\) Т.о., \(KC_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(A_1B_1\) и \(KL,\) лежащим в плоскости ребра \(AA_1B_1B.\) Значит \(KL \) перпендикулярна плоскости ребра \(AA_1B_1B.\) Ч.т.д.

б) По доказанному выше \(KC_1 \perp KM.\) Значит, треугольник \(MKC_1,\) являющийся сечением плоскостью \(\alpha\) призмы \(ABCA_1B_1C_1,\) прямоугольный. Рассмотрим равносторонний треугольник \(A_1B_1C_1.\) Его высота $$KC_1 = \sqrt{50^2 - 25^2} = 25 \sqrt{3}.$$ Теперь \(AM = 10,\) \(MA_1 = 40.\) Рассматривая прямоугольный треугольник \(MA_1K,\) получаем $$MK = \sqrt{40^2 + 25^2} = 5 \sqrt{89}$$ Поэтому $$S_{MKC_1} = \frac{1}{2} MK \cdot KC_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{89} \cdot 25 \sqrt{3} = \frac{125 \sqrt{267}}{2}$$

Ответ: б) \(\cfrac{125 \sqrt{267}}{2}.\)