Решение:

а)

Так как плоскости оснований \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) призмы параллельны друг другу, то плоскость сечения \(\alpha\) пересекает их по параллельным прямым: \(A_1B_1 \parallel MN,\) где \(M\) и \(N\) — точки рёбер \(BC\) и \(AC\) соответственно, через которые проходит плоскость сечения \(\alpha.\) Далее, боковые грани \(AA_1C_1C\) и \(BB_1C_1C\) не параллельны. Поэтому, \(A_1N\) и \(B_1M\) не параллельны друг другу. Значит, сечение \(A_1B_1MN\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha\) является трапецией.

б) Из того, что в прямой призме \(AB \parallel A_1B_1,\) получаем, что \(MN \parallel AB.\) Так как по условию \(M\) — середина ребра \(BC,\) то \(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC,\) и, поэтому \(N\) — середина \(AC.\) Наконец, из того, что призма \(ABCA_1B_1C_1\) — правильная и значит треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) правильные, получаем, что \(AN = NC = BM = MC.\)

Из того, что призма \(ABCA_1B_1C_1\) — правильная, заключаем, что \(AA_1 = BB_1\) и \(A_1A \perp (ABC),\) \(B_1B \perp (ABC).\) Значит треугольники \(A_1AN\) и \(B_1BM\) — прямоугольные, причем они равны друг другу (по двум катетам). Отсюда \(A_1N = B_1M.\) Значит трапеция \(A_1B_1MN\) — равнобедренная. По теореме Пифагора получаем, что $$A_1N = B_1N = \sqrt{13^2 + 6^2} = \sqrt{205}$$

Найдем площадь трапеции \(A_1B_1MN.\) Пусть \(MH\) и \(NG\) — перпендикуляры, опущенные из вершин \(M\) и \(N\) на большее основание \(A_1B_1.\) Так как трапеция равнобедренная, получаем, что \(HG = 6,\) \(B_1H = A_1G = 3.\) По теореме Пифагора находим, что $$MH = \sqrt{B_1M^2 - B_1H^2} = \sqrt{205 - 9} = \sqrt{196} = 14$$ Значит $$S_{B_1MNA_1} = \frac{6 + 12}{2} \cdot 14 = 9 \cdot 14 = 126$$

Ответ: б) \(126\)