Решение:

а) Так как \(SA\) — высота пирамиды, то \(SA \perp AD\) и \(SA \perp AB.\) Прямоугольные треугольники \(SAD\) и \(SAB\) равны по двум катетам (\(SA\) — общая сторона, \(AD = AB\) как стороны квадрата \(ABCD).\) Значит \(SD = SB.\) Прямая \(DK\) лежит в плоскости \(SDB.\) Эта плоскость пересекается с плоскостью \(SAC\) по прямой \(SO,\) где \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD.\) Значит \(N \in SO.\) В равнобедренном треугольнике \(DSB\) медианы \(SO\) и \(DK\) пересекаются в точке \(N\) и делятся ей в отношении \(2 : 1.\)

Рассмотрим треугольник \(SAB.\) В нём \(a = EF \parallel SC.\) Проведём в этом треугольнике ещё одну медиану \(AL.\) Она пересечёт медиану \(SO\) в точке \(N.\) Причём \(AN : NL = 2 : 1.\) По теореме Фалеса \(AF : FC = 2 : 1.\) Ч.т.д.

б) Так как в основании пирамиды лежит квадрат, а ребро \(SA \perp DAB,\) то введя декартову систему координат (центр помещаем в точке \(A,\) ось абсцисс — \(AD,\) ось ординат — \(AB,\) ось аппликат — \(AS\)), получаем следующие координаты точек: \(S \, (0, \, 0, \, 6),\) \(K \, (0, \, \sqrt{3}, \, 3),\) \(D \, (2 \sqrt{3}, \, 0, \, 0),\) \(C \, (2 \sqrt{3}, \, 2 \sqrt{3}, \, 0).\) Тогда $$\overrightarrow{DK} = \left\{ -2 \sqrt{3}, \, \sqrt{3}, \, 3 \right\}$$ $$\overrightarrow{SC} = \left\{ 2 \sqrt{3}, \, 2 \sqrt{3}, \, -6 \right\}$$ $$\overrightarrow{DK} \cdot \overrightarrow{SC} = -12 + 6 - 18 = -24$$ $$\overrightarrow{DK}^2 = 12 + 3 + 9 = 24$$ $$\overrightarrow{SC}^2 = 12 + 12 + 36 = 60$$ $$\cos \alpha = \frac{\left| \overrightarrow{DK} \cdot \overrightarrow{SC} \right|}{ \left| \overrightarrow{DK} \right| \cdot \left| \overrightarrow{SC} \right|} = \frac{24}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{60}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$$ $$\alpha = \mathrm{arccos} \, \sqrt{\frac{2}{5}}$$

Ответ: б) \(\mathrm{arccos} \, \sqrt{\cfrac{2}{5}}\)