Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Вариант 2

Просмотры: 666
Изменено: 1 февраля 2025

На сторонах \( AC \) и \( BC \) треугольника \( ABC \) вне треугольника построены квадраты \( ACDE \) и \( BFKC \). Точка \( M \) - середина \( AB \).

а) Докажите, что \( CM = \dfrac{1}{2} DK \).

б) Найдите расстояние от точки \( M \) до центров квадратов, если \( AC = 10\), \( BC = 32 \) и \( \angle ACB = 30^\circ \).

Решение:

а) \(\angle DCA = \angle KCB = 90^\circ\). Если \(\angle ACB = \alpha\), то \(\angle DCK = 180^\circ - \alpha\).

Пусть \(G\) - середина \(DK\). Продлим медиану \(CG\) до точки \(H\) так, что \(CG= GH\). Тогда \(DCKH\) - параллелограмм и, значит, \(\angle HDC = \alpha\). Далее, \(CD = CA\), \(CK = CB\). Поэтому \(\Delta ACB = \Delta CDH\) по двум сторонам и углу между ними. И значит у них равны медианы, проведённые к равным сторонам: $$ CM = DG = \frac{1}{2} DK. $$

б) Пусть \(O\) - центр квадрата \(BFKC\). Тогда \(MO\) - средняя линия треугольника \(ABK\).

Рассмотрим треугольник \(ACK\). В нём \(\angle C = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\) и сторону \(AK\) можно найти по теореме косинусов: $$ AK^2 = AC^2 + CK^2 - 2 \cdot AC \cdot CK \cos 120^\circ = $$ $$ = 10^2 + 32^2 - 2 \cdot 10 \cdot 32 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) = $$ $$ = 100 + 1024 + 320 = 1444 $$ Значит, \(AK = \sqrt{1444} = 38\) и \(MO = 19\).

Пусть \(S\) - центр квадрата \(CDEA\). Чтобы найти \(MS\), нужно рассмотреть треугольник \(ADB\). В нём \(MS\) - средняя линия и \(MS = \dfrac{1}{2} DB\). Рассмотрим треугольник \(DCB\). Он равен треугольнику \(ACK\) (у них равны две стороны \(CD = CA\), \(CB = CK\) и углы между ними \(\angle ACB = \angle ACK\). Поэтому, \(DB = 38\), \(MS = 19\).

Ответ: б) \(19\).

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года