Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Вариант 3

Просмотры: 440
Изменено: 30 января 2025

Окружность, построенная на стороне \( AD \) параллелограмма \( ABCD \) как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

а) Докажите, что \( ABCD \) - ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону \( AB \) в точке \( M \), причём \( AM : MB = 1 : 2 \). Найдите диагональ \( AC \), если известно, что \( AD = 2 \sqrt{3} \).

Решение:

а) Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей параллелограмма \( ABCD \). Так как \( AD \) - диаметр окружности, проходящей через \( O \), то треугольник \( AOD \) - прямоугольный, \( \angle AOD = 90^\circ \). Значит диагонали параллелограмма \( ABCD \) пересекаются под прямым углом, поэтому \( ABCD \) - ромб.

б) \( AM = \dfrac{1}{3} AB = \dfrac{1}{3} AD = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \). Треугольник \( AMD \) - прямоугольный. $$ \cos \angle MAD = \dfrac{AM}{AD} = \dfrac{1}{3}. $$ Далее, \( \angle MAD = 2 \angle OAD \) (диагонали ромба являются биссектрисами его углов). Поэтому, $$ \cos^2 \angle OAD = \frac{\cos \angle MAD + 1}{2} = \frac{2}{3}, \quad \Rightarrow \quad \cos \angle OAD = \sqrt{\frac{2}{3}}. $$ $$ AO = AD \cos \angle OAD = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad AC = 2 \cdot AO = 4 \sqrt{2}. $$

Ответ: б) \(4 \sqrt{2}\).

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года