Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Вариант 4

Просмотры: 725
Изменено: 2 февраля 2025

На отрезке \( BD \) взята точка \( C \). Биссектриса \( BL \) равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( BC \) является боковой стороной равнобедренного треугольника \( BLD \) с основанием \( BD \).

а) Докажите, что треугольник \( DCL \) равнобедренный.

б) Известно, что \( \cos \angle ABC = \dfrac{3}{4} \). В каком отношении прямая \( DL \) делит сторону \( AB \)?

Решение:

а) Обозначим \( \angle LBC = \angle LBA = \angle LDB =\alpha \). Тогда \( \angle ABC = \angle ACB = 2 \alpha \). Угол \( ACB \) - внешний для треугольника \( DCL \). Поэтому \( 2 \alpha = \angle LCB = \angle CLD + \angle CDL = \angle CLD + \alpha \). Поэтому \( \angle CLD = \angle CDL = \alpha \) и, значит, треугольник \( DCL \) - равнобедренный.

б) Так как \( \cos \angle ABC = \dfrac{3}{4} \), то \( AB : BC = 2 : 3 \). Пусть \( AB = 2x\), \( BC = 3x \). Из того, что \( BL \) - биссектриса, следует, что \( AL : LC = 2 : 3 \), т.е. \( 2z + 3z = 2x \), \( z = \dfrac{2x}{5} \), \( AL =\dfrac{2}{5} AB \).

\( \angle ALK = \angle CLD = \alpha \) как вертикальные. Отсюда треугольники \( ALK \) и \(ABL \) подобны по двум углам (угол \( A \) - общий). Поэтому \( \dfrac{AL}{AB} = \dfrac{AK}{AL} \), значит \( AL^2 = AB \cdot AK \) $$ \frac{4}{25} \cdot AB^2 = AB \cdot AK \quad \Rightarrow \quad AK = \frac{4}{25} AB $$ $$ BK = \left( 1 - \frac{4}{25} \right) AB = \frac{21}{25} AB $$ Поэтому \( AK : BK = 4 : 21 \).

Ответ: б) \( 4 : 21 \).

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года