Решение:

а) Прямая \(OC_1\) биссектриса угла \(ECD,\) а прямая \(CO\) — биссектриса \(\angle ACD = \angle ECD.\) Значит точки \(C, \, O_1, \, O, \, P\) лежат на одной прямой — биссектрисе угла \(ACD.\) Но тогда по свойству биссектрисы имеем $$\frac{AP}{BP} = \frac{CA}{CB} = \cos \angle ACB.$$

б) Обозначим \(\gamma = \angle ACB.\) Опустим из точек \(O\) и \(O_1\) перпендикуляры \(O_1N\) и \(OM\) на катет \(AC.\) Опустим также перпендикуляр \(O_1K\) из точки \(O_1\) на катет \(AB.\) И пусть \(OM\) и \(O_1K\) пересекаются в точке \(G.\) Тогда \(O_1 N = GM = AK = 4, \, OM = 6, \, OG = OM - GM = 2,\) \(O_1G = 4 + 6 = 10, \, O_1 K = 4 + 6 + 6 = 16.\) Далее, так как \(O_1 K \parallel AC,\) то \(\angle GO_1O = \cfrac{\gamma}{2}.\) Значит, \(\tan \cfrac{\gamma}{2} = \cfrac{OG}{O_1G} = \cfrac{1}{5}.\) Теперь, $$\tan^2 \frac{\gamma}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\gamma}{2}}{\cos^2 \frac{\gamma}{2}} \, \Rightarrow \, \cos^2 \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{1 + \tan^2 \frac{\gamma}{2}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{25}{26}$$ $$\cos \gamma = 2 \cos^2 \frac{\gamma}{2} - 1 = \frac{50}{26} - 1 = \frac{12}{13}$$ Значит, \(AB : AC : BC = 5 : 12 : 13.\) Теперь $$PK = O_1K \tan \cfrac{\gamma}{2} = \cfrac{16}{5},$$ $$AP = AK + PK = 4 + \cfrac{16}{5} = \cfrac{36}{5},$$ $$PB = \frac{AP}{\cos \gamma} = \frac{36}{5} \cdot \frac{13}{12} = \frac{39}{5} \, \Rightarrow \, AB = \frac{36}{5} + \frac{39}{5} = 15 = 5 \cdot 3$$ Отсюда \(AC = 12 \cdot 3 = 36,\) \(S_{ABC} = \cfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36 = 270.\)

Ответ: б) \(270\)