Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-26

Просмотры: 324
Изменено: 30 апреля 2026

В трапеции \(KLMN\) с основаниями \(KN\) и \(ML\) провели биссектрисы углов \(LKN\) и \(LMN,\) которые пересеклись в точке \(P.\) через точку \(P\) параллельно прямой \(KN\) провели прямую, которая пересекла стороны \(LK\) и \(MN\) соответственно в точках \(A\) и \(B.\) При этом \(AB = KL.\)

  • а) Докажите, что трапеция \(KLNM\) равнобедренная.
  • б) Найдите \(\cos \angle LKN,\) если \(KP : PM = 4 : 3,\) \(AP : PB = 3 : 2.\)

Решение:

а) \(AB \parallel KN \, \Rightarrow \, \angle APK = \angle NKP\) как накрест лежащие при параллельных прямых. С другой стороны, по условию \(\angle NKP = \angle AKP.\) Значит, \(\triangle AKP\) равнобедренный: \(AK = AP.\) Аналогично доказывается, что \(\triangle MBP\) равнобедренный и \(BP = BM.\) Так как по условию \(AB = KL\) и из того, что \(AP = AK,\) делаем вывод, что \(AL = PB = BM.\) Но тогда из теоремы Фалеса следует, что $$\frac{AL}{MB} = \frac{AK}{BN} = 1,$$ т.е. \(AK = BN\) и значит \(KL = NM.\)

б) Пусть \(\angle LKN = \alpha.\) Тогда \(\angle KAP = 180^\circ - \alpha.\) Так как трапеция \(KLMN\) равнобедренная, то \(\angle KNB = \angle PBM = \alpha.\) Пусть \(AP = 3x,\) тогда \(BP = 2x.\) По теореме косинусов получаем следующие выражения: $$KP^2 = AK^2 + AP^2 - 2 \cdot AK \cdot AP \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 9x^2 +9 x^2 + 18x^2 \cos \alpha = 18x^2 (1 + \cos \alpha),$$ $$MP^2 = BP^2 + BM^2 - 2 \cdot BP \cdot BM \cdot \cos \alpha = 4x^2 + 4x^x - 8x^2 \cos \alpha = 8x^2 (1 - \cos \alpha).$$ Поэтому $$\frac{KP^2}{MP^2} = \frac{16}{9} = \frac{9(1 + \cos \alpha)}{4 (1 - \cos \alpha)}.$$ Отсюда находим, что \(\cos \angle LKN = \cos \alpha = - \cfrac{17}{145}.\)

Ответ: б) \(- \cfrac{17}{145}\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года