Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-27

Просмотры: 297
Изменено: 30 апреля 2026

На стороне \(BC\) роба \(ABCD\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 1 : 4.\) Через точку \(E\) перпендикулярно \(BC\) провели прямую, которая пересекает диагонали \(BD\) и \(AC\) в точках \(R\) и \(M\) соответственно, при этом \(BR : RD = 1 : 3.\)

  • а) Докажите, что точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(2 : 1,\) считая от вершины \(C.\)
  • б) Найдите периметр ромба \(ABCD,\) если \(MR = 2 \sqrt{3}.\)

Решение:

а) Из условия задачи получаем, что \(BE = \cfrac{1}{5} BC,\) \(EC = \cfrac{4}{5} BC,\) \(BR = RO = \cfrac{1}{2} BO.\) Пусть \(\cfrac{CM}{AM} = k.\) Тогда получаем, что \(CM = k \cdot AM, \) \(AC = 2 OC = (k + 1) AM.\) Отсюда $$AM = \frac{2 OC}{k + 1}, \,\, MC = 2OC - AM = \frac{2k \cdot OC}{k + 1}.$$ Далее, \(\triangle BRE \sim \triangle BCO\) (они прямоугольные с общим острым углом \(B\)), \(\triangle BRE \sim \triangle MRO\) (они прямоугольные и \(\angle BRE = \angle MRO\) как вертикальные). Обозначим \(\angle BCO\) через \(\gamma.\) Тогда $$\sin \gamma = \frac{BE}{BR} = \frac{2BC}{5BO} = \frac{BO}{BC} \, \Rightarrow \, \frac{BO^2}{BC^2} = \sin^2 \gamma = \frac{2}{5} \, \Rightarrow \, \cos^2 \gamma = \frac{3}{5}.$$ $$\cos \gamma = \frac{EC}{MC} = \frac{4 BC}{5 MC} = \frac{4 (k+1) BC}{5 \cdot 2k OC} = \frac{OC}{BC} \, \Rightarrow \, \frac{OC^2}{BC^2} = \frac{2(k+1)}{5k} = \frac{3}{5}$$ То есть \(2(k+1) = 3k.\) Значит \(k = 2,\) ч.т.д.

б) Так как \(\cfrac{BO^2}{BC^2} = \cfrac{2}{5},\) то \(5BO^2 = 2BC^2.\) Теперь $$MO^2 + OR^2 = MR^2 = 12 \, \Rightarrow \, \frac{OC^2}{9} + \frac{BO^2}{4} = 12$$ $$4 (BC^2 - BO^2) + 9BO^2 = 12 \cdot 36 \, \Rightarrow \, 4BC^2 + 5BO^2 = 12 \cdot 36 \, \Rightarrow \,6BC^2 = 3 \cdot 12^2.$$ Отсюда \(BC = 6 \sqrt{2},\) \(P_{ABCD} = 4 BC = 24 \sqrt{2}.\)

Ответ: б) \(24 \sqrt{2}\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года