Решение:

а) Если \(2a = b + c,\) то в трапецию \(ABCD\) можно было бы вписать окружность и сторона \(BC\) касалась бы этой окружности. Пусть теперь \(2a < b + c\) и предположим, что сторона \(BC\) не пересекает окружность. Проведём отрезок \(B_1C_1\) параллельно \(BC\) так, чтобы он касался окружности. Так как этот отрезок лежит ближе к основанию \(AD\) и заключён между расходящимися прямыми, то \(B_1C_1 > BC.\) По свойству описанных четырёхугольников \(AD + B_1C_1 = AB_1 + C_1D.\) Теперь имеем $$2a = AB + CD = AB_1 + B_1B + CC_1 + C_1D = AD + B_1C_1 + B_1B + CC_1> AD + BC + B_1B + CC_1= b + c + B_1B + CC_1.$$ Т.е. \(2a > b + c.\) Но это противоречит условию, что \(2a < b + c.\) Поэтому, сторона \(BC\) должна пересекать окружность.

б) Пусть окружность пересекает сторону \(BC\) в точках \(K\) и \(L.\) Положим, что \(BK = CL = x,\) тогда \(BL = BC - CL = 10 - x.\) Пусть сторона \(AD\) касается окружности в точке \(H,\) а боковая сторона \(AB\) — в точке \(G.\) Так как трапеция \(ABCD\) равнобедренная, то точка \(H\) делит \(AD\) пополам, т.е. \(AH = 6.\) По свойству касательных, проведённых из одной точки, \(AG =AH = 6\) и, значит, \(BG = BA - AG = 8 - 6 = 2.\) Наконец, по свойству касательной и секущей, проведённой из одной точки \(BG^2 = BK \cdot BL \Rightarrow\) \(2^2 = x \cdot (10 - x).\) Т.е. $$x^2 - 10x + 4 = 0 \, \Rightarrow D = (-10)^2 - 4 \cdot 4 = 84, \, \sqrt{D} = 2 \sqrt{21} \, \Rightarrow$$ $$x_1 = \frac{10 - 2 \sqrt{21}}{2} = 5 - \sqrt{21}, \,\, x_2 = \frac{10 + 2 \sqrt{21}}{2} = 5 + \sqrt{21}$$ Так как \(x\) не должен превышать \(5\) (половину стороны \(BC),\) то подходит только первый корень. Наконец \(KL = 10 - 2x = 10 - 2 (5 - \sqrt{21}) = 2 \sqrt{21}.\)

Ответ: б) \(2\sqrt{21}\)