Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Основная волна. 8.06.2026

Просмотры: 217
Изменено: 8 июня 2026

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена высота \(CH.\) На гипотенузе \(AB\) взята точка \(P\) так, что \(AH = BP.\) Через точку \(P\) проведён перпендикуляр к прямой \(AB,\) пересекающий описанную около треугольника \(ABC\) окружность в точках \(Q\) и \(T,\) причём точка \(Q\) лежит с точкой \(C\) по одну сторону от прямой \(AB.\)

  • а) Докажите, что четырёхугольник \(ACQB\) — равнобедренная трапеция.
  • б) Найдите \(QT,\) если \(CQ = 5\) и \(AB = 13.\)

Решение:

а) Так как \(\triangle ABC\) — прямоугольный, то \(AB\) — диаметр описанной около него окружности. Пусть точка \(O\) — центр этой окружности, она же середина \(AB.\) Тогда \(OC = OQ = R.\) Так как \(AH = BP,\) то \(OH = OP.\) Поэтому прямоугольные треугольники \(CHO\) и \(QPO\) равны по гипотенузе и катету. Отсюда \(\angle COH = \angle QOP.\) Но тогда \(\triangle COA = \triangle QOB\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(AC = QB.\) Из этого получаем, что \(\angle CBA = \angle BCQ\) как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. Эти углы являются накрест лежащими для прямых \(AB\) и \(CQ\) и секущей \(CB.\) Значит, \(CQ \parallel AB,\) т.е. \(ACQB\) — равнобедренная трапеция. Ч.т.д.

б) Выше было доказано, что \(CQ \parallel AB.\) А т.к. \(QP \perp AB\) по условию, то \(QP \perp CQ.\) Т.е. \(\angle CQP = \angle CQT = 90^\circ.\) Поэтому треугольник \(CQT\) — прямоугольный, а значит \(CT\) — это диаметр окружности, описанной около него. Но эта окружность описана и около \(\triangle ABC,\) поэтому \(CT\) проходит через точку \(O.\) Значит, \(CT = AB = 13.\) По теореме Пифагора $$QT = \sqrt{CT^2 - CQ^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$$

Ответ: б) \(12\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года