Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 10.02.26

Просмотры: 3027
Изменено: 10 февраля 2026

Окружность, вписанная в квадрат \(ABCD,\) касается его стороны \(AB\) в точке \(K,\) а стороны \(AD\) в точке \(E.\) Отрезки \(CK\) и \(CE\) пересекают окружность в точках \(M\) и \(P\) соответственно.

  • а) Докажите, что прямые \(EK\) и \(MP\) параллельны.
  • б) Найдите \(ME,\) если сторона квадрата равна \(10.\)

Решение:

а) Прямоугольные треугольники \(EDC\) и \(KBC\) равны по двум катетам: \(DC = BC\) как стороны квадрата, \(ED=KB\) как половины сторон квадрата. Отсюда \(CE = CK\) и \(\triangle EKC\) — равнобедренный. Тогда \(\angle CEK = \angle CKE.\) Далее, \(\angle PEM = \angle MKP,\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(PM.\) Но тогда \(\angle MEK = \angle PEK - \angle PEM = \angle MKE - \angle MKP = \angle PKE.\) С другой стороны \(\angle MEK = \angle MPK\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(MK.\) Значит, \(\angle EKP = \angle MPK,\) поэтому \(EK \parallel MP.\) Ч.т.д.

б) Пусть сторона квадрата \(BC = 2x.\) Тогда \(BK = x\) и \(CK = \sqrt{x^2 + 4x^2} = x \sqrt{5}.\) Теперь \(EK = \sqrt{x^2 + x^2} = x \sqrt{2}.\) Медиана \(CH\) равнобедренного треугольника \(CEK,\) проведённая к основанию \(EK,\) является также и высотой. Получаем, что $$KH = \cfrac{EK}{2} = \cfrac{x}{\sqrt{2}},$$ $$CH = \sqrt{5x^2 - \cfrac{x^2}{2}} = \frac{3x}{\sqrt{2}},$$ $$\sin \angle CKH = \frac{CH}{CK} = \frac{3x}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} x} = \frac{3}{\sqrt{10}}.$$ По теореме синусов $$ME = 2R \cdot \sin \angle CKE = 10 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = 3 \sqrt{10}$$

Ответ: б) \(3 \sqrt{10}.\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года