Решение:

а) Так как окружность касается сторон \(AB\) и \(AC\) угла \(ABC,\) то её центр должен лежать на биссектрисе этого угла. Но в равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего напротив его основания, совпадает с медианой, проведённой к основанию. Значит центр \(O\) окружности совпадает с серединой основания \(BC.\) Т.е. \(OB = OC.\)

Пусть \(D\) и \(F\) — точки касания окружности со сторонами \(AB\) и \(AC.\) И пусть касательная проведена к точке \(E,\) которая должна лежать на дуге \(DF,\) чтобы она пересекала боковые стороны треугольника. Тогда \(\triangle ODM = \triangle OEM,\) так как \(OD = OE = r,\) \(MD = ME\) как касательные к окружности, проведённые из одной точки, а сторона \(OM\) — общая. Отсюда \(\angle DMO = \angle EMO = \alpha.\) Аналогично доказывается, что \(\triangle OEN = \triangle OFN.\) Поэтому \(\angle ENO = \angle FNO = \beta.\) Наконец, обозначим углы при основании треугольника \(ABC\) через \(\gamma:\) \(\angle MBO = \angle NCO = \gamma.\) Из свойства суммы углов четырёхугольника получаем, что $$2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 360^\circ$$ $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$ Таким образом в треугольнике \(BMO\) $$\angle BOM = 180^\circ - \angle BMO - \angle MBO = 180^\circ - \alpha - \gamma = \beta$$ Но отсюда сразу следует, что $$\triangle OMB \sim \triangle NMO \sim \triangle NOC$$ по двум углам, причём \(\angle MOB = \gamma\) и \(\angle NOC = \alpha .\)

б) Так как \(\triangle ABC\) равносторонний, то \(AB = AC = BC = 12,\) \(OB = OC = 6,\) \(AN = 4, \) \(NC = 8.\) Так как \(\triangle NOC \sim \triangle OMB,\) получаем, что $$\frac{MB}{OC} = \frac{OB}{NC}$$ $$MB = \frac{OC \cdot OB}{NC}$$ $$MB = \frac{6 \cdot 6}{8} = \frac{9}{2}$$

Ответ: б) \(\cfrac{15}{2}.\)