Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 18.12.25

Просмотры: 790
Изменено: 15 февраля 2026

В треугольнике \(ABC\) все стороны различны. Прямая, содержащая высоту \(BH\) треугольника \(ABC,\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(K.\) Отрезок \(BN\) — диаметр этой окружности.

  • а) Докажите, что прямые \(AC\) и \(KN\) параллельны.
  • б) Найдите расстояние от точки \(N\) до прямой \(AC,\) если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(10 \sqrt{6},\) \(\angle BAC = 30^\circ ,\) \(\angle ABC = 105^\circ .\)

Решение:

а) По условию \(\angle BHC = 90^\circ .\) С другой стороны, так как \(BN\) — диаметр, то \(\triangle BKN\) прямоугольный и \(\angle BKN = 90^\circ .\) Две прямые \(AC\) и \(KN\) перпендикулярны прямой \(BK.\) Значит \(AC \parallel KN.\)

б) \(\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 45^\circ.\) Так как треугольник \(BHC\) прямоугольный, то тогда он ещё и равнобедренный: \(HC = HB.\) Далее, \(\angle BAC = \angle BKC\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(BC.\) Поэтому прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(KCH\) равны по катету и острому углу. Отсюда, \(KH = AH.\) Расстояние от точки \(N\) до прямой \(AC\) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую \(AC.\) Так как \(KN \parallel AC,\) то это расстояние равно длине отрезка \(KH.\)

Теперь, по теореме синусов \(AB = 2r \cdot \sin \angle ACB = 20 \sqrt{6} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{2}} = 20 \sqrt{3}.\) Поэтому $$AH = AB \cos 30^\circ = 20 \sqrt{3} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} = 30.$$

Ответ: \(30\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года