Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 22.04.2026

Просмотры: 1630
Изменено: 23 апреля 2026

В тупоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) тупой. Точка \(P\) лежит вне треугольника \(ABC.\) \(BP\) и \(CP\) — перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) соответственно, причём \(CP\) пересекает сторону \(AB.\) Высота \(CH\) треугольника \(ACP\) пересекает отрезок \(AB\) в точке \(K.\)

  • а) Докажите, что острые углы \(ABC\) и \(ACH\) равны.
  • б) Найдите длину стороны \(AC,\) если \(AK = 6,\) \(BK = 18.\)

Решение:

а) Треугольники \(PBA\) и \(PCA\) — прямоугольные по условию. У них общая гипотенуза \(PA.\) Это значит, что окружность, построенная на этой гипотенузе как на диаметре проходит через вершины \(B\) и \(C\) этих треугольников. Но тогда \(\angle APC = \angle ABC\) как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(AC.\)

Далее, \(\triangle APC \sim \triangle ACH\) по двум углам: они оба прямоугольные и имеют общий угол \(A.\) Значит \(\angle APC = \angle ACH.\) Но выше было доказано, что \(\angle APC = \angle ABC.\) Значит, \(\angle ABC = \angle ACH.\) Ч.т.д.

б) Треугольники \(ABC\) и \(ACK\) подобны по двум углам: у них общий угол \(A\) и \(\angle ABC = \angle ACK\) (было доказано в пункте а). Значит $$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AK}$$ $$AC^2 = AB \cdot AK$$ $$AC = \sqrt{AB \cdot AK} = \sqrt{24 \cdot 6} = 12$$

Ответ: \(12\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года