Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. ЕГКР. 7.4.2026

Просмотры: 918
Изменено: 8 апреля 2026

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) прямоугольного треугольника \(ABC\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K,\) гипотенузу \(AB\) — в точке \(M.\)

  • а) Докажите, что треугольники \(AKM\) и \(ABC\) подобны.
  • б) Найдите площадь четырёхугольника \(CKMB,\) если радиус окружности равен \(\sqrt{29},\) катеты \(AC\) и \(BC\) равны \(12\) и \(4\) соответственно.

Решение:

а) Т.к. \(\angle BCK = 90^\circ,\) то \(\triangle BCK\) — прямоугольный. Значит, \(BK\) — диаметр окружности, описанной около треугольника \(BCK.\) Но тогда \(\triangle BMK\) также прямоугольный, причём \(\angle BMK = 90^\circ .\) Получаем, что \(\angle KMA = 90^\circ ,\) потому что \(KM \perp AB.\) Отсюда получаем, что \(\triangle ABC \sim \triangle AKM\) по двум углам: они прямоугольные и имеют общий угол \(A.\)

б) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABC\) получаем, что $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = 4 \sqrt{10}$$ С другой стороны, из прямоугольного треугольника \(BCK\) по теореме Пифагора получаем, что $$CK = \sqrt{BK^2 - BC^2} = \sqrt{\left( 2 \sqrt{29} \right)^2 - 4^2} = \sqrt{100} = 10$$ Значит $$AK = AC - CK = 12 - 10 = 2$$ Далее $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$$ Коэффициент подобия $$k = \frac{AK}{AB} = \frac{2}{4 \sqrt{10}} = \frac{1}{2 \sqrt{10}}$$ Площадь треугольника \(AKM\) $$S_{AKM} = k^2 S_{ABC} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$$ Значит $$S_{CKMB} = S_{ABC} - S{AKM} = 24 - \frac{3}{5} = 23 \frac{2}{5}$$

Ответ: б) \(23 \cfrac{2}{5}\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года