Решение:

Выделим полный квадрат под знаком корня: $$ a^2 + 11 | x+2 | + 3 \sqrt{(x+2)^2 + 9} = 5a + 2 | x+2 - 2a|. $$ Замена \( t = x+2 \). Также перенесём некоторые члены в другую сторону равенства. Получаем: $$ a^2 - 5a + 3 \sqrt{t^2 + 9} = 2 |t - 2a | - 11 |t|. $$ Пусть \( f(t) = a^2 -5a + 3\sqrt{t^2 + 9} \), \( g(t) = 2 |t-2a| - 11 |t| \).

При \( t \geqslant 0 \) функция \(f(t) \) возрастает, принимая значения от \(f(0)\) до \( + \infty \). При \( t < 0 \) функция \( f(t)\) убывает, принимая значения от \( +\infty \) до \( f(0) \).

При \( t \geqslant 0 \) функция \(g(t) \) убывает, принимая значения от \(g(0)\) до \( - \infty \). При \( t < 0 \) функция \( g(t)\) возрастает, принимая значения от \( -\infty \) до \( g(0) \).

Т.о. \( \min f(t) = f(0) = a^2 -5a+9 \), \( \max g(t) = g(0) = 4 |a| \). Так как наибольшее значение \( g(t)\) и минимальное значение \( f(t)\) обе функции принимают в одной и той же точке \( t = 0\), то чтобы исходное уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы \( \min f(t) \leqslant \max g(t) \), т.е. \( a^2-5a+9 \leqslant 4 |a| \).

\( a \geqslant 0 \): $$ a^2 -5a+9 \leqslant 4a \quad \Rightarrow \quad \frac{9-3\sqrt{5}}{2} \leqslant a \leqslant \frac{9 + 3 \sqrt{5}}{2}. $$ \( a < 0 \): $$ a^2 - 5a+9 \leqslant -4a \quad \Rightarrow \quad a^2 -a+9\leqslant 0. $$ Это неравенство решений не имеет.

Ответ: \( \left[ \dfrac{9-3\sqrt{5}}{2}; \dfrac{9+3\sqrt{5}}{2} \right] \).