Математика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 18. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 22.04.2026

Просмотры: 628
Изменено: 23 апреля 2026

Найдите все значения \(p,\) при каждом из которых уравнение $$\left( x^2 - 6x + 10 \right)^2 + \left( x^2 - 2p^2 + 7p \right)^2 = \sin \left( p \pi + \frac{\pi}{2} x \right)$$ имеет хотя бы один корень.

Решение:

Выражение в левой части уравнения представляет собой сумму квадратов. Поэтому оно неотрицательно. Далее $$x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1$$ Поэтому $$\left(x^2 - 6x + 10 \right)^2 \geqslant 1$$ Учитывая, что \(\left( x^2 - 2 p^2 + 7p \right)^2 \geqslant 0,\) получаем, что $$\left( x^2 - 6x + 10 \right)^2 + \left( x^2 - 2p^2 + 7p \right)^2 \geqslant 1$$ Но синус не может быть больше единицы. Значит, уравнение из условия задания имеет решение только когда $$ \begin{cases} x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1 = 1 \\ x^2 - 2p^2 + 7p = 0 \\ \sin \left( p \pi + \cfrac{\pi}{2} x \right) = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения системы немедленно получаем, что \(x = 1.\) И это будет единственным корнем уравнения из условия задания. Теперь $$9 - 2p^2 + 7p = 0 \, \Rightarrow \, 2p^2 - 7p - 9 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$ $$p_{1, 2} = \frac{7 \pm 11}{4} \, \Rightarrow \, p_1 = -1, \, p_2 = \frac{9}{2}$$ Осталось проверить, для каких найденых \(p\) синус в правой части уравнения равен \(1\) при \(x = 3:\) $$p = -1: \, \sin \left( -\pi + \frac{3 \pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$ $$p = \frac{9}{2}: \, \sin \left( \frac{9 \pi}{2} + \frac{3 \pi}{2} \right) = \sin 6 \pi = 0$$

Ответ: \(-1\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года