Решение:

Из второго уравнения системы сразу получаем ограничение на \(a{:}\) \(a \geqslant 0.\)

Преобразуем систему $$ \begin{cases} \left( |x| - a^2 \right)^2 + y^2 - 16a^2 = 9a^2 - 2y - 1, \\ y + 1 = 6 \sqrt{a} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left( |x| - a^2 \right)^2 + (y + 1)^2 = 25a^2, \\ y + 1 = 6 \sqrt{a} \end{cases} $$ $$ \left( |x| - a^2 \right)^2 + 36 a = 25a^2 $$ $$ \left( |x| - a^2 \right)^2 = a \left( 25a - 36 \right) $$ Так как слева выражение неотрицательно, то $$a \left( 25a - 36 \right) \geqslant 0.$$ С учётом того, что \(a \geqslant 0,\) получаем, что либо \(a = 0,\) либо \(a \geqslant \cfrac{36}{25}.\) Но если \(a = 0,\) то тогда система будет иметь единственное решение \((0; \, -1).\) Таким образом, задача свелась к исследованию системы $$ \begin{cases} \left( |x| - a^2 \right)^2 = 25a^2 - 36 a ,\\ a \geqslant \cfrac{36}{25} \end{cases} $$ Если \(25a^2 - 36a =0,\) что возможно при \(a = \cfrac{36}{25},\) получаем, что \(|x| = a^2\) и система имеет два решения: $$ \left( \cfrac{36}{26} ; \, 6 \sqrt{\cfrac{36}{25}} - 1 \right) \quad \mbox{и} \quad \left(-\cfrac{36}{26} ; \, 6 \sqrt{\cfrac{36}{25}} - 1 \right)$$

Рассмотрим теперь случай, когда \(a > \cfrac{36}{25}.\) Получаем, что $$|x| = a^2 \pm \sqrt{25a^2 - 36a}$$ Чтобы исходная система имела ровно два решения, необходимо, чтобы при фиксированном \(a\) это уравнение имело ровно два решения. Это возможно лишь тогда, когда $$ \begin{cases} a^2 - \sqrt{25a^2 - 36a} < 0 , \\ a > \cfrac{36}{25} \end{cases} $$ Найдем значения \(a,\) удовлетворяющие этому неравенству. В дальнейших вычислениях будем считать, что \(a > \cfrac{36}{25}.\) $$ a^2 < \sqrt{25a^2 - 36a} $$ $$ a^4 - 25a^2 + 36a < 0 $$ $$ a \left( a^3 - 25a + 36 \right) < 0 $$ Так как \(a > \cfrac{36}{25},\) получаем, что $$ a^3 - 25a + 36 < 0 $$ Подбором (с помощью теоремы Безу) устанавливаем, что один из корней кубического трёхчлена в неравенстве — это \(a = 4.\) Поделив «в столбик» наш кубический трёхчлен, получаем, что последнее неравенство можно записать как $$(a - 4) \left( a^2 + 4a - 9 \right) < 0$$ $$(a - 4) \left( (a + 2)^2 - 13 \right) < 0$$ $$(a - 4) \left( a + 2 - \sqrt{13} \right) \left( a + 2 + \sqrt{13} \right) < 0$$ Решаем это неравенство методом интервалов

Получаем, что $$ -2 + \sqrt{13} < a < 4 $$ Осталось сравнить \(-2 + \sqrt{13} \) и \(\cfrac{36}{25}:\) $$\sqrt{13} - 2 \lor \frac{36}{25}$$ $$\sqrt{13} \lor \frac{86}{25}$$ $$13 \lor \left( \frac{86}{25} \right)^2$$ $$\frac{13}{4} \lor \left( \frac{43}{25} \right)^2$$ $$\frac{13}{4} = 3{,}25 > 3{,}24 = \left( \frac{9}{5} \right)^2 = \left( \frac{45}{25} \right)^2 > \left( \frac{43}{25} \right)^2$$ $$\sqrt{13} - 2 > \frac{36}{25}$$ Можно выписывать ответ:

Ответ: \(\left( \sqrt{13} - 2; \, 4 \right) \cup \left\{ \cfrac{36}{25} \right\}\)