Решение:

Из второго уравнения системы сразу получаем ограничение на \(a{:}\) \(a \geqslant 0.\)

Преобразуем систему $$ \begin{cases} \left( |x| + a^2 \right)^2 + y^2 - 16a^2 = 4y - 4, \\ y - 2 =2\sqrt{6a} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left( |x| + a^2 \right)^2 + (y - 2)^2 = 16a^2, \\ y - 2 = 2 \sqrt{6a} \end{cases} $$ $$ \left( |x| + a^2 \right)^2 + 24 a = 16a^2 $$ $$ \left( |x| + a^2 \right)^2 = 8a ( 2a - 3 ) $$ Так как слева выражение неотрицательно, то $$a \left( 2a - 3 \right) \geqslant 0.$$ С учётом того, что \(a \geqslant 0,\) получаем, что либо \(a = 0,\) либо \(a \geqslant \cfrac{3}{2}.\) Но если \(a = 0,\) то тогда система будет иметь единственное решение $$(0; \, 2).$$ Таким образом, задача свелась к исследованию системы $$ \begin{cases} \left( |x| + a^2 \right)^2 = 16a^2 - 24 a ,\\ a \geqslant \cfrac{3}{2} \end{cases} $$ Если \(16a^2 - 24a =0,\) что возможно при \(a = \cfrac{3}{2},\) получаем, что \(|x| + a^2 = 0.\) Это уравнение не имеет решений в действительных числах при \(a = \cfrac{3}{2}.\)

Рассмотрим теперь случай, когда \(a > \cfrac{3}{2}.\) Получаем, что $$|x| = -a^2 \pm \sqrt{16a^2 - 24a}$$ Это уравнение при фиксированном \(a\) это уравнение имеет ровно два решения лишь тогда, когда $$ \begin{cases} -a^2 + \sqrt{16a^2 - 24a} > 0 , \\ a > \cfrac{3}{2} \end{cases} $$ Найдем значения \(a,\) удовлетворяющие этому неравенству. В дальнейших вычислениях будем считать, что \(a > \cfrac{3}{2}.\) $$ a^2 < \sqrt{16a^2 - 24a} $$ $$ a^4 - 16a^2 + 24a < 0 $$ $$ a \left( a^3 - 16a + 24 \right) < 0 $$ Так как \(a > \cfrac{3}{2},\) получаем, что $$ a^3 - 16a + 24 < 0 $$ Подбором (с помощью теоремы Безу) устанавливаем, что один из корней кубического трёхчлена в неравенстве — это \(a = 2.\) Поделив «в столбик» наш кубический трёхчлен, получаем, что последнее неравенство можно записать как $$(a - 2) \left( a^2 + 2a - 12 \right) < 0$$ $$(a - 2) \left( (a + 1)^2 - 13 \right) < 0$$ $$(a - 2) \left( a + 1 - \sqrt{13} \right) \left( a + 1 + \sqrt{13} \right) < 0$$ Решаем это неравенство методом интервалов

Получаем, что $$ 2 < a < -1 + \sqrt{13} $$ Так как \(\cfrac{3}{2} < 1,\) то мы получили окончательный ответ:

Ответ: \(\left( 2; \, \sqrt{13} - 1 \right)\)