Решение:

Преобразуем систему: $$ \begin{cases} \left( x^2 - (y +a)^2 \right) \left( x^2 + (y +a)^2 \right) - 0{,}5 a^2 \left( x^2 - (y +a)^2 \right) = 0, \\ y = ax \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left( x^2 - (y +a)^2 \right) \left( x^2 + (y +a)^2 - 0{,}5 a^2 \right) = 0, \\ y = ax \end{cases} $$ Первое уравнение распадается на два уравнения $$x^2 = (y+a)^2 \quad x^2 + (y+a)^2 = \frac{a^2}{a}$$ Уравнение \(x^2 = (y+a)^2\) задаёт пару прямых \( y = x - a\) и \(y = -x - a,\) проходящих через точку \((0; \, -a).\)

Уравнение $$x^2 + (y + a)^2 = \frac{a^2}{2}$$ задаёт окружность радиуса \(\cfrac{a}{\sqrt{2}}\) с центром в точке \(O{:}\) \((0; \, -a).\)

Наконец, уравнение \(y = ax\) — это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Собирая всё вместе, получаем следующее

Система уравнений из условия задания имеет четыре решения тогда и только тогда, когда график прямой \(y = ax\) пересекает окружность и пару прямых, заданных первым уравнением системы в четырёх различных точках. Этот случай показан зелёной прямой на рисунке.

Чтобы прямая \(y = ax\) пересекала пару прямых \(y = \pm x - a,\) необходимо, чтобы она не была параллельна ни одной прямой из этой пары, т.е. \(a \neq \pm 1.\) Этот случай показан оранжевыми пунктирными прямыми на чертеже.

Понятно также, что \(a \neq 0,\) так как в противном случае система имеет, как это нетрудно видеть, единственное решение \(x = 0, \, y = 0.\)

Найдём теперь все значения \(a,\) при которых прямая \(y = ax\) пересекает окружность $$x^2 + (y + a)^2 = \frac{a^2}{2}$$ в двух точках. Это возможно тогда и только тогда, когда уравнение $$x^2 + (ax + a)^2 = \frac{a^2}{2}$$ имеет два решения. Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем $$x^2 + a^2 x^2 + 2 a^2 x + a^2 - \frac{a^2}{2} = 0$$ $$(1 + a^2) x^2 + 2a^2 x + \frac{a^2}{2} = 0$$ Это уравнение имеет два решение при условии, что его дискриминант больше нуля. Получаем $$D = 4a^4 - 4 \cdot (1 + a^2) \cdot \frac{a^2}{2} = 4a^2 - 2a^2 (1 + a^2) = 2a^2 (a^2 - 1) > 0$$ Выше мы выяснили, что \(a \neq 0,\) значит \(a^2 > 0.\) Поэтому получаем, что \(a^2 > 1\) или \(|a| > 1.\)

Осталось исключить случаи, когда прямая \(y = ax\) проходит через точки пересечения пары прямых \(x^2 = (y+a)^2\) с окружностью. Этот случай отмечен красной пунктирной прямой на рисунке. Найдем координаты этих точек. $$ \begin{cases} x^2 = (y+a)^2 \\ x^2 + (y + a)^2 = \cfrac{a^2}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad 2x^2 = \frac{a^2}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{a}{2} $$ Теперь несложно найти все четыре точки пересечения пары прямых с окружностью: $$ x_1 = \frac{a}{2}, \,\, y_1 = \frac{a}{2} - a = - \frac{a}{2} \,\, \Rightarrow \left( \frac{a}{2} ; \, - \frac{a}{2} \right)$$ $$ x_2 = - \frac{a}{2}, \,\, y_2 = - \frac{a}{2} - a = - \frac{3a}{2} \,\, \Rightarrow \left( -\frac{a}{2} ; \, - \frac{3a}{2} \right)$$ $$ x_3 = \frac{a}{2}, \,\, y_3 = - \frac{a}{2} - a = - \frac{3a}{2} \,\, \Rightarrow \left( \frac{a}{2} ; \, - \frac{3a}{2} \right)$$ $$ x_4 = - \frac{a}{2}, \,\, y_4 = \frac{a}{2} - a = - \frac{a}{2} \,\, \Rightarrow \left( -\frac{a}{2} ; \, - \frac{a}{2} \right)$$ Осталось найти те значения \(a,\) при которых прямая \(y = ax\) проходит через эти точки: $$\left( \frac{a}{2} ; \, - \frac{a}{2} \right) \,\, \Rightarrow \,\, - \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} \,\, \Rightarrow \,\, a^2 = - a \,\, \Rightarrow \,\, a = 0, \, a = -1$$ $$\left( -\frac{a}{2} ; \, - \frac{3a}{2} \right) \,\, \Rightarrow \,\, - \frac{3a}{2} = -\frac{a^2}{2} \,\, \Rightarrow \,\, a^2 = 3a \,\, \Rightarrow \,\, a = 0, \, a = 3$$ $$\left( \frac{a}{2} ; \, - \frac{3a}{2} \right) \,\, \Rightarrow \,\, - \frac{3a}{2} = \frac{a^2}{2} \,\, \Rightarrow \,\, a^2 = -3 a \,\, \Rightarrow \,\, a = 0, \, a = -3$$ $$\left( -\frac{a}{2} ; \, - \frac{a}{2} \right) \,\, \Rightarrow \,\, - \frac{a}{2} = -\frac{a^2}{2} \,\, \Rightarrow \,\, a^2 = a \,\, \Rightarrow \,\, a = 0, \, a = 1$$ Исключая найденные значения из множество \(|a| > 1\) найденные точки, получаем окончательный ответ

Ответ: \(( - \infty ; \, -3) \cup (-3 ; \, -1) \cup (1; \, 3) \cup (3; \, + \infty )\)