Решение:

Преобразуем систему $$ \begin{cases} \left( (x + a)^2 - y^2 \right) \left( (x + a)^2 + y^2 \right) - 0{,}5 a^2 \left( (x + a)^2 - y^2 \right) = 0, \\ y = ax + \cfrac{a}{2} \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \left( (x + a)^2 - y^2 \right) \left( (x + a)^2 + y^2 - 0{,}5 a^2 \right) = 0, \\ y = ax + \cfrac{a}{2} \end{cases} $$ Из первого уравнения системы получаем два уравнения: $$y^2 = (x+a)^2 \quad (x+a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{2}$$ Первое уравнение определяет две прямые $$y = x + a \quad x = -x - a,$$ проходящие через точку \(O:\) \((-a; \, 0).\) Второе уравнение задаёт окружность радиуса \(\cfrac{a}{\sqrt{2}}\) с центром в той же точке \(O.\)

Система уравнений из условия задания имеет четыре различных решения тогда и только тогда, когда график прямой \(y = ax + \cfrac{a}{2}\) пересекает указанные выше две прямые и окружность в четырёх различных точках.

Так как по условию \(a > 0,\) то прямая \(y = ax + \cfrac{a}{2}\) всегда пересекает прямую \(y = -x -a.\) Далее, при \(a \neq 1\) прямая \(y = ax + \cfrac{a}{2}\) так же пересекает прямую \(y = x + a.\)

Выясним, при каких \(a\) прямая \(y = ax + \cfrac{a}{2}\) пересекает окружность $$(x+a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{2}$$ в двух точках. Это будет тогда, когда уравнение $$(x+a)^2 + \left( ax + \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{2}$$ будет иметь два различных решения. Раскрывая скобки и приводя подобные получаем, что $$x^2 + 2ax + a^2 + a^2 x^2 + a^2 x + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = 0$$ $$(1 + a^2) x^2 + a (a + 2) x + \frac{3a^2}{4} = 0$$ Это квадратное уравнение имеет два решения, если его дискриминант положителен: $$D = a^2 (a+2)^2 - 4 \cdot (1 + a^2) \cdot \frac{3a^2}{4} = -2a^4 + 4a^3 + a^2 = a^2 (-2a^2 + 4a + 1) > 0$$ Так как по условию \(a > 0,\) получаем, что $$-2a^2 + 4a + 1 > 0$$ $$D = 16 - 4 \cdot(-2) \cdot 1 = 24$$ $$a_{1, 2} = \frac{-4 \pm 2 \sqrt{6}}{-4}$$ Так как ветки параболы \(-2a^2 + 4a + 1\) направлены вниз, с учётом ограничения \(a > 0,\) находим, что это трёхчлен положителен на интервале $$\left(0; \, 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \right).$$

Теперь нужно учесть, что если прямая \(y = ax + \cfrac{a}{2}\) проходит через точки пересечения пары прямых \(y^2 = (x+a)^2\) с окружностью (на графике оранжевая пунктирная прямая) или через точку пересечения самих прямых (красная пунктирная прямая), то система будет иметь меньше четырёх различных решений. Исследуем эти точки.

Пересечение прямых с окружностью: $$2y^2 = \frac{a^2}{2} \,\, \Rightarrow \,\, y = \pm \frac{a}{2}$$ Пересечение окружности с прямой \(y = x + a\) или, что то же самое, с \( x = y - a:\) $$y_1 = \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, x_1 = \frac{a}{2} - a = - \frac{a}{2} \,\, \Rightarrow \left( - \frac{a}{2}; \, \frac{a}{2} \right)$$ $$y_2 = - \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, x_2 = -\frac{a}{2} - a = - \frac{3a}{2} \,\, \Rightarrow \left( - \frac{3a}{2}; \, - \frac{a}{2} \right)$$ Пересечение окружности с прямой \(y = -x - a\) или, что то же самое, с \( x = -y - a:\) $$y_3 = \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, x_3 = - \frac{a}{2} - a = - \frac{3a}{2} \,\, \Rightarrow \left( - \frac{3a}{2}; \, \frac{a}{2} \right)$$ $$y_4 = - \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, x_4 = \frac{a}{2} - a = - \frac{a}{2} \,\, \Rightarrow \left( - \frac{a}{2}; \, - \frac{a}{2} \right)$$ Определяем, при каких \(a\) прямая \(y = ax + \cfrac{a}{2}\) проходит через эти точки: $$\left( - \frac{a}{2}; \, \frac{a}{2} \right): \,\, \frac{a}{2} = - \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, a^2 = 0 \, \Rightarrow a = 0$$ $$\left( - \frac{3a}{2}; \, -\frac{a}{2} \right): \,\, -\frac{a}{2} = - \frac{3a^2}{2} + \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, -3a^2 + 2a = 0 \, \Rightarrow a = 0, \, a = \frac{2}{3}$$ $$\left( - \frac{3a}{2}; \, \frac{a}{2} \right): \,\, \frac{a}{2} = - \frac{3a^2}{2} + \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, a^2 = 0 \, \Rightarrow a = 0$$ $$\left( - \frac{a}{2}; \, - \frac{a}{2} \right): \,\, -\frac{a}{2} = - \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} \, \Rightarrow \, -a^2 + 2a = 0 \, \Rightarrow a = 0, \, a = 2$$ Итак, точки \(0; \, \cfrac{2}{3}; \, 2\) нужно исключить из найденного интервала.

Осталось рассмотреть ещё точку \((-a; \, 0)\) пересечения двух прямых \(y^2 = (x+a)^2:\) $$\left(-a; \, 0\right) : \, 0 = -a^2 + \frac{a}{2} \,\, \Rightarrow -a \left( a - \frac{1}{2} \right) = 0 \, \Rightarrow \, a = 0, \, a = \frac{1}{2}.$$ Таким образом, ответом на поставленный вопрос в задании будет интервал $$\left(0; \, 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \right)$$ с исключёнными из него точками $$\frac{1}{2}; \, \frac{2}{3}; \, 1; \, 2$$

Ответ: \(\left( 0; \, \cfrac{1}{2} \right) \cup \left( \cfrac{1}{2}; \, \cfrac{2}{3} \right) \cup \left( \cfrac{2}{3} ; \, 1 \right) \cup (1; \, 2) \cup \left( 2; \, 1 + \cfrac{\sqrt{6}}{2} \right)\)