Решение:

Преобразуем систему: $$ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 - 9a^2 + 48a - 64 + 2ax - 2ay + 2xy - a^2 + 16 = 0 \\ | xy | = a^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x^2 + 2ax + a ^2 - a^2 + y^2 - 2ay + a^2 - a^2 - 9a^2 + 48a - 64 - a^2 + 16 = 0 \\ | xy | = a^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} (x+a)^2 + (y-a)^2 = 12 (a-2)^2 \\ |xy| = a^2 \end{cases} $$ Если \(a = 0,\) мы получим систему $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 48 \\ |xy| = 0 \end{cases} $$ Второе уравнение описывает две прямые — \(x = 0\) и \(y = 0.\) Это — координатные оси. Первое уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{48}.\) Окружность пересекает координатные оси только в четырёх точках. Значит, \(a=0\) не удовлетворяет требованиям задания.

При \(a \neq 0\) мы получим окружность радиуса \(2\sqrt{3} |a-2|\) с центром в точке \((-a; \, a)\) и две гиперболы, проходящие через точки \((\pm |a|; \, \pm |a|).\) При \(a = 2\) окружность вырождается в две прямые, проходящие через \((-2; \, 2).\) В таком случае мы то же не получим семь решений системы.

Итак, чтобы система имела семь различных решений, необходимо, чтобы радиус окружности был не меньше \(2 \sqrt{2} |a|.\) В этом случае окружность пересекает три ветки гипербол, а четвёртую ветку как минимум касается. Получаем $$\sqrt{3} |a - 2| \geqslant \sqrt{2} |a|$$ Здесь надо рассмотреть три случая. Первый: \(a < 0.\) Раскрывая модули, получаем $$\sqrt{3} (2 - a) \geqslant - \sqrt{2} a$$ $$\sqrt{2} a - \sqrt{3} a \geqslant - 2 \sqrt{3}$$ $$a \leqslant \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2 \sqrt{3} \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right) = 6 + 2 \sqrt{6}$$ С учётом ограничения \(a < 0\) получаем, что все отрицательные \(a\) дают как минимум семь решений системы (а точнее, решений будет восемь): $$a < 0$$

Второй случай: \(0 < a < 2{:}\) $$\sqrt{3} (2 - a) \geqslant \sqrt{2} a$$ $$-\sqrt{2} a - \sqrt{3} a \geqslant - 2 \sqrt{3}$$ $$a \leqslant \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = 2 \sqrt{3} \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right) = 6 - 2 \sqrt{6}$$ Так как \(6 - 2 \sqrt{6} < 2,\) с учётом ограничения \(0 < a < 2\) получаем, что во втором случае $$0 < a \leqslant 6 - 2 \sqrt{6}$$

Третий случай: \(a > 2{:}\) $$\sqrt{3} (a - 2) \geqslant \sqrt{2} a$$ $$\sqrt{3} a - \sqrt{2} a \geqslant 2 \sqrt{3}$$ $$a \geqslant \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2 \sqrt{3} \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right) = 6 + 2 \sqrt{6}$$

Ответ: \((- \infty ; \, 0) \cup \left( 0; \, 6 - 2 \sqrt{6} \right] \cup \left[ 6 + 2 \sqrt{6}; \, + \infty \right)\)